Średni czas pobytu
Średni czas przebywania (lub czasem średni czas oczekiwania ) obiektu w systemie to oczekiwany czas, jaki obiekt musi spędzić w systemie, zanim opuści system na dobre.
Obliczenie
Wyobraź sobie, że stoisz w kolejce, aby kupić bilet w kasie. Jeśli po minucie zauważysz liczbę klientów, którzy są za tobą, można to potraktować jako (przybliżone) oszacowanie liczby klientów wchodzących do systemu (tutaj kolejka oczekujących) na jednostkę czasu (tutaj minutę). Jeśli następnie podzielisz liczbę klientów przed sobą przez ten „przepływ” klientów, właśnie oszacowałeś czas oczekiwania, jakiego powinieneś się spodziewać; tj. czas potrzebny na dotarcie do lady i rzeczywiście jest to przybliżony szacunek.
Aby to nieco sformalizować, rozważmy kolejkę oczekujących jako system S, do którego napływają cząsteczki (klienci) i gdzie proces „kup bilet” oznacza, że cząsteczka opuszcza system. Czas oczekiwania, który rozważaliśmy powyżej, jest powszechnie nazywany czasem przejścia, a twierdzenie, które zastosowaliśmy, jest czasami nazywane twierdzeniem Little'a, które można sformułować w następujący sposób: oczekiwana liczba cząstek w stanie ustalonym w układzie S jest równa przepływowi cząstek do S razy średni czas przejścia. Podobne twierdzenia odkryto w innych dziedzinach, aw fizjologii było to wcześniej znane jako jedno z równań Stewarta-Hamiltona (służące np. do szacowania objętości krwi w narządach).
Tę zasadę (lub twierdzenie) można uogólnić. Rozważmy zatem system S w postaci zamkniętej dziedziny o skończonej objętości w przestrzeni euklidesowej . Rozważmy jeszcze sytuację, w której do S (ilość cząstek na jednostkę czasu) napływa strumień „równoważnych” cząstek, gdzie każda cząstka zachowuje swoją tożsamość będąc w S i ostatecznie – po skończonym czasie – nieodwracalnie opuszcza układ ( tzn. dla tych cząstek układ jest „otwarty”). Figura
przedstawia historię ruchu myślowego pojedynczej takiej cząstki, która w ten sposób wchodzi i wychodzi z podsystemu s trzy razy, z których każdy skutkuje czasem tranzytu, a mianowicie czasem spędzonym w podsystemie między wejściem a wyjściem. Suma tych czasów przejścia to czas przebywania s dla tej konkretnej cząstki. Jeśli ruchy cząstek traktuje się jako realizację jednego i tego samego procesu stochastycznego, sensowne jest mówienie o średniej wartości tego czasu przebywania. Oznacza to, że średni czas przebywania podsystemu to całkowity czas, jaki cząstka ma spędzić w podsystemie s przed opuszczeniem systemu S na dobre.
Aby zobaczyć praktyczne znaczenie tej wielkości, przyjmijmy jako prawo fizyki, że jeśli strumień cząstek do S jest stały i wszystkie inne istotne czynniki są stałe, S ostatecznie osiągnie stan ustalony (tj. liczbę i rozkład cząstek jest stała wszędzie w S). Można zatem wykazać, że liczba cząstek w stanie ustalonym w podsystemie s jest równa strumieniowi cząstek do układu S pomnożonemu przez średni czas przebywania podsystemu. Jest to zatem bardziej ogólna postać tego, co powyżej nazywano twierdzeniem Little'a i można by to nazwać równoważnością masowo-czasową :
- (oczekiwana ilość stanu ustalonego w s) = (strumień do S) (średni czas przebywania w s)
co czasami nazywano zasadą zajętości (to, co tutaj nazywa się średnim czasem przebywania, jest określane jako zajętość; być może nie do końca szczęśliwe określenie, ponieważ sugeruje obecność określonej liczby „miejsc” w systemie S). Ta równoważność masowo-czasowa znalazła zastosowanie, powiedzmy, w medycynie do badania metabolizmu poszczególnych narządów.
Ponownie mamy tu do czynienia z uogólnieniem tego, co w teorii kolejek jest czasami określane jako twierdzenie Little'a, które, co ważne, odnosi się tylko do całego systemu S (nie do dowolnego podsystemu, jak w przypadku równoważności masowo-czasowej); średni czas pobytu można w twierdzeniu Little'a interpretować jako średni czas przejścia.
Jak powinno być oczywiste z omówienia powyższego rysunku, istnieje zasadnicza różnica między znaczeniem dwóch wielkości czasu pobytu i czasu przejścia: ogólność równoważności masowo-czasowej wynika w dużej mierze ze szczególnego znaczenia pojęcia czas pobytu. Kiedy rozważa się cały system (jak w twierdzeniu Littla), czy prawdą jest, że czas pobytu jest zawsze równy czasowi tranzytu.