Średnia odległość międzycząsteczkowa

Średnia odległość międzycząsteczkowa (lub średnia separacja międzycząsteczkowa) to średnia odległość między mikroskopijnymi cząstkami (zwykle atomami lub cząsteczkami ) w ciele makroskopowym.

Niejasność

$wynika , że ​​średnia odległość między$ jest proporcjonalna do wielkości objętości przypadającej na cząsteczkę tj

${\ Displaystyle \ langle r \ rangle \ sim 1/n ^ {1/3},}$

gdzie ${\ displaystyle n = N/V}$ to gęstość cząstek . Jednak z wyjątkiem kilku prostych przypadków, takich jak gazu doskonałego , dokładne obliczenia współczynnika proporcjonalności są analitycznie niemożliwe. Dlatego często stosuje się wyrażenia przybliżone. Jednym z takich oszacowań jest promień Wignera – Seitza

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {3} {4 \ pi n}} \ prawo) ^ {1/3},}$

co odpowiada promieniowi kuli o objętości przypadającej na cząsteczkę ${\ displaystyle 1/n}$ . Inna popularna definicja to

${\ Displaystyle 1/n ^ {1/3}}$ ,

odpowiadająca długości krawędzi sześcianu z objętością na cząsteczkę ${\ displaystyle 1/n}$ . Te dwie definicje różnią się o współczynnik około ${\ displaystyle 1,61}$ , więc należy zachować ostrożność, jeśli artykuł nie określa dokładnie parametru. Z drugiej strony jest często używany w stwierdzeniach jakościowych, w których taki czynnik liczbowy jest albo nieistotny, albo odgrywa nieistotną rolę, np.

• „energia potencjalna… jest proporcjonalna do pewnej potęgi n odległości międzycząsteczkowej r” ( twierdzenie Viriala )
• „odległość między cząstkami jest znacznie większa niż termiczna długość fali de Broglie ” ( teoria kinetyczna )

Gaz doskonały

Dystrybucja najbliższego sąsiada

PDF odległości NN w gazie doskonałym.

Chcemy obliczyć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa odległości do najbliższej sąsiedniej cząstki (NN). (Problem został po raz pierwszy rozważony przez Paula Hertza; ${ \displaystyle n=N/V}$ współczesnego wyprowadzenia patrz np.) Załóżmy $,$ wewnątrz kuli o objętości $V$ że . Zauważ, że ponieważ cząstki w gazie doskonałym nie oddziałują, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w pewnej odległości od innej cząstki jest takie samo, jak prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tej samej odległości od dowolnego innego punktu; użyjemy środka kuli.

Cząstka NN w odległości $,$$że$ ​​dokładnie jedna z cząstek znajduje $gdy$ pozostałe , tj gdzieś poza sferą o promieniu ${\ displaystyle r}$ .

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w odległości od początku między początkiem $dr}$ { $+$ wynosi $^ {2}/V) dr}$${\ displaystyle (4 \ pi$ , a ponadto mamy $różne sposoby wyboru cząstki, podczas$ prawdopodobieństwo znalezienia cząstki poza tą kulą wynosi ${\ Displaystyle 1-4 \ pi r ^ {3}/3V}$ . Szukane wyrażenie to wtedy

${\ Displaystyle P_ {N} (r) dr = 4 \ pi r ^ {2} dr {\ Frac {N} {V}} \ lewo (1- {\ Frac {4 \ pi} {3}} r ^{3}/V\right)^{N-1}={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}dr\left( 1-\lewo({\frac {r}{a}}\prawo)^{3}{\frac {1}{N}}\prawo)^{N-1}\,}$

gdzie wymieniliśmy

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {V}} = {\ Frac {3} {4 \ pi Na ^ {3}}}.}$

Zauważ, że to $promień$ -Seitza . Wreszcie, biorąc limit i używając $)$${\ Displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty}$ , otrzymujemy

${\ Displaystyle P (r) = {\ Frac {3} {a}} \ lewo ({\ Frac {r}}} \ prawo) ^ {2} e ^ {- (r / a) ^ {3 }}\,.}$

Od razu można to sprawdzić

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} P (r) dr = 1 \,.}$

Dystrybucja osiąga szczyt o godz

${\ Displaystyle r _ {\ tekst {szczyt}} = \ lewo (2/3 \ prawo) ^ {1/3} a \ około 0,874a \,.}$

Średnia odległość i wyższe momenty

${\ Displaystyle \ langle r ^ {k} \ rangle = \ int _ {0 }^{\infty }P(r)r^{k}dr=3a^{k}\int _{0}^{\infty}x^{k+2}e^{-x^{3}} dx\,,}$

lub $_$ _

${\ Displaystyle \ langle r ^ {k} \ rangle = a ^ {k} \ int _ {0}^{\infty}t^{k/3}e^{-t}dt=a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,,}$

gdzie jest funkcją $gamma$ _ Zatem,

${\ Displaystyle \ langle r ^ {k} \ rangle = a ^ {k} \ Gamma (1 + {\ Frac {k} {3}}) \,.}$

W szczególności,

${\ Displaystyle \ langle r \ rangle = a \ Gamma ({\ Frac {4} {3}}) = {\ Frac {a} {3}} \ Gamma ({\ Frac {1} {3}}) \ ok. 0,893a\,.}$

Zobacz też

• Promień Wignera-Seitza