Algebra konforemna kłamstwa

Algebra konforemna Liego jest w pewnym sensie uogólnieniem algebry Liego , ponieważ również jest „algebrą Liego”, chociaż należy do innej kategorii pseudo-tensorów . Algebry konformalne Liego są bardzo blisko spokrewnione z algebrami wierzchołków i mają wiele zastosowań w innych obszarach algebry i systemów całkowalnych.

Definicja i związek z algebrami Liego

Algebrę Liego definiuje się jako przestrzeń wektorową z dwuliniowym mnożeniem skośno - symetrycznym , które spełnia tożsamość Jacobiego . Mówiąc bardziej ogólnie, algebra Liego jest obiektem $należącym$ do kategorii przestrzeni wektorowych (czytaj: $)$ z morfizmem

${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]: L \ czasami L \ strzałka w prawo L}$

to jest skośno-symetryczne i spełnia tożsamość Jacobiego. Zatem $}$ obiektem do kategorii z morfizmem ${\ Displaystyle R$

${\ Displaystyle [\ cdot _ {\ lambda} \ cdot]: R \ czasami R \ strzałka w prawo \ mathbb {C} [\ lambda] \ otimes R}$

zwany nawiasem lambda, który spełnia zmodyfikowane wersje dwuliniowości, symetrii skośnej i tożsamości Jacobiego:

$\ Displaystyle [\ częściowe a_ {\ lambda} b] = - \ lambda [a_{\lambda }b],[a_{\lambda }\częściowe b]=(\lambda +\częściowe )[a_{\lambda }b],}$

${\ Displaystyle [a _ {\ lambda} b] = - [b _ {- \ lambda - \ częściowe} a], \,}$

${\ Displaystyle [a_ {\ lambda} [b_ {\ mu} c]] - [b_ {\ mu} [a_ {\ lambda} c]] = [[a_ {\ lambda} b] _ {\ lambda + \ mu }c].\,}$

Widać, że usuwając wszystkie lambda, mu i częściowe z nawiasów, mamy po prostu definicję algebry Liego.

Przykłady algebr konforemnych Liego

Prostym i bardzo ważnym przykładem algebry konforemnej Liego jest algebra konforemna Virasoro. Ponad jest generowany przez pojedynczy element z nawiasem lambda podanym przez do $\ częściowy]}$${\ Displaystyle \ mathbb {$

${\ Displaystyle [L _ {\ lambda} L] = (2 \ lambda + \ częściowe) L. \,}$

W rzeczywistości Wakimoto wykazał, że każda algebra konformalna Liego z nawiasem lambda spełniająca tożsamość Jacobiego na jednym generatorze jest w rzeczywistości algebrą konforemną Virasoro.

Klasyfikacja

Wykazano, że każda skończenie generowana (jako $)$ izomorficzna z algebrą konforemną Virasoro, aktualną algebrą konforemną półbezpośredni produkt obu.

Istnieją również częściowe klasyfikacje nieskończonych podalgebr $\ displaystyle {\ mathfrak {gc}} _ {n}}$ i $\ mathfrak {cend}} _ {n}}$ .

Zastosowanie w układach całkowalnych i związek z rachunkiem wariacyjnym

•   Victor Kac , „Algebry wierzchołków dla początkujących”. Seria wykładów uniwersyteckich, 10. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, 1998. viii + 141 s. ISBN 978-0-8218-0643-2