Analiza czasowo-częstotliwościowa rozszerzenia podstawy

Rozwinięcia liniowe w pojedynczej bazie, czy to w szeregu Fouriera , falce , czy jakiejkolwiek innej bazie, nie są wystarczająco odpowiednie. Podstawa Fouriera zapewniała słabą reprezentację funkcji dobrze zlokalizowanych w czasie, a podstawy falkowe nie są dobrze przystosowane do reprezentowania funkcji, których transformaty Fouriera mają wąskie wsparcie dla wysokich częstotliwości. W obu przypadkach trudno jest wykryć i zidentyfikować wzorce sygnału na podstawie ich współczynników rozszerzalności, ponieważ informacja jest rozmyta w całej bazie. Dlatego musimy używać dużych ilości podstawy Fouriera lub falek, aby przedstawić cały sygnał z małym błędem aproksymacji. Niektóre dopasowywania są proponowane w artykułach referencyjnych, aby zminimalizować błąd aproksymacji przy danej ilości podstawy.

Nieruchomości

Dla szeregu Fouriera

${\ Displaystyle x (t) \ w przybliżeniu \ suma _ {m = 1} ^ {M} a_ {m} \ cdot e ^ {j2 \ pi mt / T}}$

${\ Displaystyle a_ {m} = \ int _ {0} ^ {T} x (t )e^{-j2\pi mt/T}\,\mathrm {d} t}$

Niektóre analizy czasowo-częstotliwościowe są również próbą przedstawienia sygnału w postaci poniższej

${\ Displaystyle x (t) \ w przybliżeniu \ suma _ {m = 1} ^ {M} a_ {m} \ cdot \ varphi _ {m }(T)}$

mając daną wielkość podstawy M, zminimalizuj błąd aproksymacji w sensie średniokwadratowym

${\ Displaystyle {\ tekst {błąd przybliżenia}} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) - \ suma _ {m = 1} ^ {M} a_ {m} \cdot \varphi _{m}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}$

Przykłady

Atomy trójparametrowe

${\ Displaystyle x (t) \ w przybliżeniu \ suma a_ {t_ {0}, f_ {0}, \ sigma} \ cdot \varphi _{t_{0},f_{0},\sigma }(t)}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, \ sigma} (t) = {\ Frac {2 ^ {0,25}} {\ sigma ^ {0,5}}} e ^ {j2 \ pi f_{0}t-\pi (t-t_{0})^{2}/\sigma ^{2}}}$

Ponieważ ${\ Displaystyle \ varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, \ sigma} (t) \ quad}$ nie są ortogonalne, ${\ Displaystyle \ quad a_{t_{0},f_{0},\sigma }\quad }$ powinien zostać określony w procesie dopasowywania .

Trzy parametry:

${\ displaystyle t_ {0}}$ kontroluje czas centralny.

${\ displaystyle f_ {0}}$ kontroluje częstotliwość środkową.

${\ displaystyle \ sigma}$ kontroluje współczynnik skalowania.

Atomy czteroparametrowe ( chirplet )

${\ Displaystyle x (t) \ w przybliżeniu \ suma a_ {t_ {0}, f_ {0}, \ sigma ,\eta }\cdot \varphi _{t_{0},f_{0},\sigma ,\eta }(t)}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, \ sigma, \ eta} (t) = { \frac {2^{0.25}}{\sigma ^{0.5}}}e^{j2\pi (f_{0}t+\eta /2t^{2})-\pi (t-t_{0}) ^{2}/\sigma ^{2}}}$

Cztery parametry:

${\ displaystyle t_ {0}}$ czas centralny

$kontroluje$ częstotliwość centralną

${\ displaystyle \ sigma}$ kontroluje współczynnik skalowania

${\ displaystyle \ eta}$ kontroluje częstotliwość ćwierkania

Krótkoczasowa transformata Fouriera o różnych podstawach

• SG Mallat i Z. Zhang, „Dopasowywanie zajęć ze słownikami czasowo-częstotliwościowymi”, IEEE Trans. Proces sygnału., tom. 41, nr. 12, s. 3397–3415, grudzień 1993.
• A. Bultan, „Czteroparametrowy atomowy rozkład chirpletów”, IEEE Trans. Proces sygnału., tom. 47, nie. 3, s. 731–745, marzec 1999.
• C. Capus i K. Brown. „Krótkie ułamkowe metody Fouriera do reprezentacji czasowo-częstotliwościowej sygnałów chirp”, J. Acoust. soc. Jestem. tom. 113, nr 6, s. 3253–3263, 2003.
• Jian-Jiun Ding, notatka z zajęć z analizy częstotliwości czasowej i transformacji falkowej, Wydział Elektrotechniki, National Taiwan University (NTU), Taipei, Tajwan, 2016