Analiza obwodów symbolicznych

Analiza obwodów symbolicznych to formalna technika analizy obwodów służąca do obliczania zachowania lub charakterystyki obwodu elektrycznego/elektronicznego ze zmiennymi niezależnymi (czas lub częstotliwość), zmiennymi zależnymi (napięcia i prądy) oraz (niektóre lub wszystkie) obwód elementy reprezentowane przez symbole.

Analizując obwody elektryczne/elektroniczne, możemy zadać dwa rodzaje pytań: Jaka jest wartość pewnej zmiennej obwodu ( napięcie , prąd , rezystancja , wzmocnienie itp.) lub jaki jest związek między niektórymi zmiennymi obwodu lub między zmienną obwodu a elementy obwodu i częstotliwość (lub czas). Taka zależność może przybrać postać wykresu, na którym wartości liczbowe zmiennej obwodu są wykreślane w zależności od częstotliwości lub wartości składowej (najczęstszym przykładem byłby wykres wielkości transmitancji w funkcji częstotliwości).

Analiza obwodów symbolicznych polega na uzyskaniu tych zależności w postaci symbolicznej, tj. w postaci wyrażenia analitycznego , w którym zespolona częstotliwość (lub czas) oraz niektóre lub wszystkie elementy obwodu są reprezentowane przez symbole.

Wyrażenia w dziedzinie częstotliwości

W dziedzinie częstotliwości najczęstszym zadaniem analizy obwodów symbolicznych jest uzyskanie związku między zmiennymi wejściowymi i wyjściowymi w postaci funkcji wymiernej w częstotliwości zespolonej i zmiennych symbolicznych ${\ displaystyle {\ mathit {s}} \,}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ :

{\ Displaystyle T (s, \ mathbf {x}) = {\ Frac {N (s, \ mathbf {x})} {D (s,\mathbf {x} )}}}

Powyższa zależność jest często nazywana funkcją sieciową. W przypadku układów fizycznych wielomiany wielomianami w ${\ Displaystyle N (s, \ mathbf {x})}$ $s, \ mathbf {x})$ \ displaystyle D $} \ displaystyle {\ mathit {s}} \,}$ z rzeczywistymi współczynnikami:

{\ Displaystyle T (s, \ mathbf {x}) = {\ Frac {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (\ mathbf {x}) s ^ {i}} {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {m} b_ {i} (\ mathbf {x}) s ^ {i}}} = K {\ Frac {\ Displaystyle \ prod _ { i = 1} ^ {n} (s-z_ {i} (\ mathbf {x}})} {\ Displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {m} (s- p_ {i} (\ mathbf { X} ))}}}

gdzie ${\ Displaystyle Z_ {i} (\ mathbf {x} )}$ to zera i to bieguny p $\ Displaystyle p_ {i} (\ mathbf {x})}$ funkcja sieciowa; ${\ Displaystyle m \ geqslant n}$ .

Chociaż istnieje kilka metod generowania współczynników $}$ $\$ Displaystyle ) nie istnieje żadna technika uzyskiwania dokładnych wyrażeń symbolicznych dla biegunów i zer dla wielomianów rzędu wyższego niż 5.

Typy symbolicznych funkcji sieciowych

W zależności od tego, które parametry są przechowywane jako symbole, możemy mieć kilka różnych typów symbolicznych funkcji sieciowych. Najlepiej widać to na przykładzie. Rozważmy na przykład filtra biquad z idealnymi wzmacniaczami operacyjnymi , pokazany poniżej. Chcemy otrzymać wzór na jego transmitancję napięciową (nazywaną także wzmocnieniem napięciowym ) w dziedzinie częstotliwości, ${\ Displaystyle {T_ {v} (s) = V_ {out} (s) / V_ {in} (s)} \,}$ .

Rysunek 1: Obwód biquad z idealnymi wzmacniaczami operacyjnymi. (Ten diagram został utworzony przy użyciu przechwytywania schematów w SapWin .)

Funkcja sieciowa z s jako jedyną zmienną

Jeśli częstotliwość $R$ jest jedyną zmienną, wzór będzie wyglądał następująco (dla uproszczenia używamy wartości liczbowych: $\ styl wyświetlania R_{i}=i,C_{i}=0,01i\,}$ ):

{\ Displaystyle T (s) = {\ Frac {3,48 s} {13,2 s ^ {2} + 1,32 s + 0,33}}}

Półsymboliczna funkcja sieci

Jeśli częstotliwość zespolona i niektóre zmienne obwodu są przechowywane jako symbole (analiza półsymboliczna), wzór może przybrać postać: s { $displaystyle {\ mathit {s}} \,}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} T (s \ mathbf {x } )&={\frac {1,74C_{2}s}{6,6C_{1}C_{2}s^{2}+0,66C_{2}s+0,33}}\\\mathbf {x} &= [C_{1}~C_{2}]\end{wyrównane}}}$

W pełni symboliczna funkcja sieciowa

Jeśli częstotliwość $,$ transmitancja napięcia jest określona wzorem (tutaj ${\ displaystyle G_ { i}=1/R_{i}\,}$ ):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} T (s, \ mathbf {x}) i = {\ Frac {G_ {4} G_ {6} G_ {8}C_{2}s}{G_{6}G_{11}C_{1}C_{2}s^{2}+G_{1}G_{6}G_{11}C_{2}s+ G_{2}G_{3}G_{5}G_{11}}}\\\mathbf {x} &=[C_{1}~C_{2}~G_{1}~G_{2}~G_{ 3}~G_{4}~G_{5}~G_{6}~G_{8}~G_{11}]\end{wyrównane}}}$

Wszystkie powyższe wyrażenia są niezwykle przydatne w uzyskaniu wglądu w działanie obwodu i zrozumieniu, w jaki sposób każdy komponent przyczynia się do ogólnej wydajności obwodu. Jednak wraz ze wzrostem rozmiaru obwodu liczba terminów w takich wyrażeniach rośnie wykładniczo. Tak więc nawet w przypadku stosunkowo prostych obwodów formuły stają się zbyt długie, aby miały jakąkolwiek praktyczną wartość. Jednym ze sposobów radzenia sobie z tym problemem jest pominięcie liczbowo nieistotnych terminów z wyrażenia symbolicznego, utrzymując nieunikniony błąd poniżej z góry określonej granicy.

Sekwencja formularzy wyrażeń

Inną możliwością skrócenia wyrażenia symbolicznego do rozsądnej długości jest przedstawienie funkcji sieciowej za pomocą sekwencji wyrażeń (SoE). Oczywiście traci się interpretowalność wzoru, ale takie podejście jest bardzo przydatne w przypadku powtarzalnych obliczeń numerycznych. Do generowania takich sekwencji opracowano pakiet oprogramowania STAINS (Symbolic Two-port Analysis via Internal Node Suppression). Istnieje kilka rodzajów SoE, które można uzyskać z PLAMY. Na przykład kompaktowy SoE dla naszego biquada to ${\ displaystyle T_ {v} (s) \,}$

x1 = G5*G3/G6 x2 = -G1-s*C1-G2*x1/(s*C2) x3 = -G4*G8/x2 Ts = x3/G11

Powyższy ciąg zawiera ułamki. Jeśli nie jest to pożądane (na przykład, gdy pojawiają się dzielenie przez zero), możemy wygenerować bezułamkowy SoE:

x1 = -G2*G5 x2 = G6*s*C2 x3 = -G4*x2 x4 = x1*G3-(G1+s*C1)*x2 x5 = x3*G8 x6 = -G11*x4 Ts = -x5/ x6

Jeszcze innym sposobem na skrócenie wyrażenia jest rozłożenie wielomianów na czynniki i ${\ Displaystyle D (s, \ mathbf {x})$ $, \ mathbf {x}} )}$ . W naszym przykładzie jest to bardzo proste i prowadzi do:

Num = G4*G6*G8*s*C2 Den = G11*((G1+s*C1)*G6*s*C2+G2*G3*G5) Ts = Num/Den

Jednak w przypadku większych obwodów faktoryzacja staje się trudnym problemem kombinatorycznym , a końcowy wynik może być niepraktyczny zarówno dla interpretacji, jak i obliczeń numerycznych.

Zobacz też

Linki zewnętrzne