Anizotropia ułamkowa

Anizotropia ułamkowa (FA) to wartość skalarna z przedziału od zera do jednego, która opisuje stopień anizotropii procesu dyfuzji . Wartość zero oznacza, że dyfuzja jest izotropowa, tzn. jest nieograniczona (lub jednakowo ograniczona) we wszystkich kierunkach. Wartość jeden oznacza, że dyfuzja zachodzi tylko wzdłuż jednej osi i jest całkowicie ograniczona wzdłuż pozostałych kierunków. FA jest miarą często stosowaną w obrazowaniu dyfuzyjnym , gdzie uważa się, że odzwierciedla gęstość włókien, średnicę aksonów i mielinizację istoty białej . FA jest rozszerzeniem koncepcji mimośrodowości przekrojów stożkowych w 3 wymiarach, znormalizowanych do zakresu jednostek.

Definicja

Elipsoida dyfuzji jest całkowicie reprezentowana przez tensor dyfuzji, D . FA jest obliczana na podstawie wartości własnych ( ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3} }} )$ tensora dyfuzji . Wektory własne $wielkość$ $podają$ , w których elipsoida ma główne osie, a odpowiadające im wartości własne piku w tym kierunku.

Schemat tensora dyfuzji

{\ Displaystyle {\ tekst {FA} }={\sqrt {\frac {3}{2}}}{\frac {\sqrt {(\lambda _{1}-{\hat {\lambda}})^{2}+(\lambda _{ 2}-{\kapelusz {\lambda}})^{2}+(\lambda_{3}-{\kapelusz {\lambda}})^{2}}}{\sqrt {\lambda_{1} ^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}}}}}

z ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ lambda}} = (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3}) /3}$ jest średnią wartością wartości własnych.

Równoważna formuła dla FA to

{\ Displaystyle {\ tekst {FA }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\frac {\sqrt {(\lambda _{1}-\lambda _{2})^{2}+(\lambda _{2 }-\lambda _{3})^{2}+(\lambda _{3}-\lambda _{1})^{2}}}{\sqrt {\lambda _{1}^{2}+ \lambda _{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}}}},}

co jest dalej równoważne z:

{\ Displaystyle {\ tekst {FA}} = {\ sqrt {{\ Frac {1} {2}} \ lewo (3- {\ Frac {1} {{\text{ślad}}({\text{R}}^{2})}}\right)}}}

gdzie R jest „znormalizowanym” tensorem dyfuzji:

{\ Displaystyle {\ tekst {R}} = {\ Frac {\ tekst {D}} {{\ tekst {ślad}} ({\ tekst {D}})}}}

$0$ Zauważ, że jeśli wszystkie wartości własne są równe, co ma miejsce w przypadku dyfuzji izotropowej (sferycznej), jak w swobodnej wodzie, FA wynosi . FA może osiągnąć maksymalną wartość $1$ (rzadko zdarza się to w rzeczywistych danych), w którym to przypadku D ma tylko jedną niezerową wartość własną, a elipsoida redukuje się do linii w kierunku tego wektora własnego. Oznacza to, że dyfuzja ogranicza się wyłącznie do tego kierunku.

Detale

0 Można to zwizualizować za pomocą elipsoidy, która jest zdefiniowana przez wektory własne i wartości własne D. FA kuli jest taka , ponieważ dyfuzja jest izotropowa i istnieje równe prawdopodobieństwo dyfuzji we wszystkich kierunkach. Wektory własne i wartości własne tensora dyfuzji dają pełną reprezentację procesu dyfuzji. FA określa ilościowo ostrość elipsoidy, ale nie podaje informacji o kierunku, w którym jest skierowana.

$0$ $0$ Należy zauważyć, że FA większości cieczy, w tym wody, występuje, chyba że proces dyfuzji jest ograniczony przez struktury, takie jak sieć włókien. Zmierzony FA może zależeć od efektywnej skali długości pomiaru dyfuzji. Jeśli proces dyfuzji nie jest ograniczony na mierzonej skali (ograniczenia są zbyt daleko od siebie) lub ograniczenia zmieniają kierunek na mniejszej skali niż mierzona, to mierzona FA będzie osłabiona. Na przykład mózg można traktować jako płyn, w którym znajduje się wiele włókien (aksonów nerwowych). Jednak w większości części włókna biegną we wszystkich kierunkach, a zatem chociaż ograniczają dyfuzję, FA jest . W niektórych obszarach, takich jak ciało modzelowate, włókna są ułożone w wystarczająco dużej skali (rzędu milimetra), aby ich kierunki były w większości zgodne w elemencie rozdzielczości obrazu rezonansu magnetycznego i to właśnie te obszary się wyróżniają na obrazie FA. Ciekłe kryształy mogą również wykazywać dyfuzję anizotropową, ponieważ kształt ich cząsteczek przypominający igły lub płytki wpływa na sposób, w jaki ślizgają się one po sobie. Kiedy FA wynosi 0, tensorowa natura D jest często ignorowana i nazywana jest stałą dyfuzji.

Wartość FA 0,7698, macierz DT jest diagonalna ([10 2 2])
Wartość FA równa 0, macierz DT jest diagonalna ([4 4 4])
Wartość FA 0,6030, macierz DT jest diagonalna ([4 4 2])

Wadą modelu tensora dyfuzji jest to, że może on uwzględniać tylko procesy dyfuzji Gaussa , co okazało się niewystarczające do dokładnego odwzorowania prawdziwego procesu dyfuzji w ludzkim mózgu. Z tego powodu modele wyższego rzędu wykorzystujące harmoniczne sferyczne i funkcje dystrybucji orientacji (ODF) zostały wykorzystane do zdefiniowania nowszych i bogatszych oszacowań anizotropii, zwanych uogólnioną anizotropią ułamkową. Obliczenia GFA wykorzystują próbki ODF do oceny anizotropii w dyfuzji. Można je również łatwo obliczyć za pomocą współczynników harmonicznych sferycznych modelu ODF.