Całka Goodwina-Statona

W matematyce całkę Goodwina-Statona definiuje się jako:

{\ Displaystyle G (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {e ^ {- t ^ {2}}} {t+z}}\,dt}

{\ Displaystyle 4w (z) + 8 \, z {\ Frac {d} {dz}} w (z) + (2 + 2 \, z ^ {2}) {\ Frac {d ^ {2}} { dz^{2}}}w(z)+z{\frac {d^{3}}{dz^{3}}}w\left(z\right)=0}

Nieruchomości

Symetria:

{\ Displaystyle G (-z) = - G (z)}

Rozwinięcie dla małego z :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G (z) = {} & 1- \ gamma - \ ln (z ^ {2}) -i \ nazwa operatora {csgn} (iz ^ {2}) \ pi + {\ frac {2i}{\sqrt {\pi }}}z\\[5pt]&\qquad {}+(-2+\gamma +\ln(z^{2})+i\operatorname {csgn} (iz^ {2})\pi {\Duży}}z^{2}-{\frac {4i}{3{\sqrt {\pi}}}}z^{3}\\[5pt]&\qquad {} +\left({\frac {5}{4}}-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln(z^{2})-{\ frac {1}{2}}i\operatorname {csgn} (iz^{2})\pi \right)z^{4}+O(z^{5})\end{wyrównane}}}

^ Frank William John Olver (red.), NM Temme (rozdział contr.), NIST Handbook of Mathematical Functions, rozdział 7, s. 160, Cambridge University Press 2010