Centralne twierdzenie graniczne Martingale'a

W teorii prawdopodobieństwa centralne twierdzenie graniczne mówi, że w pewnych warunkach suma wielu niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie , gdy jest odpowiednio skalowana, zbiega się w rozkładzie do standardowego rozkładu normalnego . Twierdzenie o centralnej granicy martyngału uogólnia ten wynik dla zmiennych losowych na martyngały , które są procesami stochastycznymi , w których zmiana wartości procesu od czasu t do czasu t + 1 ma zerowe oczekiwania , nawet uwarunkowane wcześniejszymi wynikami.

Oświadczenie

Oto prosta wersja centralnego twierdzenia granicznego $przyrostami$ z to znaczy załóżmy

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [X_ {t + 1} -X_ {t} \ vert X_ {1}, \ kropki, X_ {t}] = 0 \,, }$

I

${\ Displaystyle | X_ {t + 1} -X_ {t} | \ równoważnik k}$

prawie na pewno dla pewnej ustalonej granicy k i wszystkich t . Załóżmy również, że ${\ displaystyle | X_ {1} | \ równoważnik k}$ prawie na pewno.

Definiować

${\ Displaystyle \ sigma _ {t} ^ {2} = \ nazwa operatora {E} [(X_ {t + 1} -X_ {t}) ^ {2} | X_ {1 },\ldots ,X_{t}],}$

i pozwól

${\ Displaystyle \ tau _ {\ nu} = \ min \ lewo \ {t: \ suma _ {i = 1} ^ {t} \ sigma _ {i} ^ {2} \ geq \ nu \ prawo \}. }$

Następnie

${\ Displaystyle {\ Frac {X _ {\ tau _ {\ nu}}} {\ sqrt {\ nu}}}}$

zbiega się w rozkładzie do rozkładu normalnego ze średnią 0 i wariancją 1 jako ${\ Displaystyle \ nu \ do + \ infty \!}$ . bardziej wyraźnie,

${\ Displaystyle \ lim _ {\ nu \ do + \ infty} \ nazwa operatora {P} \ lewo ({\ Frac {X _ {\ tau _ {\ nu}}} {\ sqrt {\ nu}} <x \ prawo)=\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi}}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{ 2}}{2}}\right)\,du,\quad x\in \mathbb {R} .}$

Suma wariancji musi być rozbieżna do nieskończoności

Stwierdzenie powyższego wyniku domyślnie zakłada, że ​​​​wariancje sumują się do nieskończoności, więc z prawdopodobieństwem 1 zachodzi następujące stwierdzenie:

${\ Displaystyle \ suma _ {t = 1} ^ {\ infty} \ sigma _ {t} ^ {2} = \ infty}$

Zapewnia to, że z prawdopodobieństwem 1:

${\ Displaystyle \ tau _ {v}<\ infty, \ forall v \ geq 0}$

Warunek ten jest naruszony na przykład przez martyngał, który jest zdefiniowany jako zero prawie na pewno przez cały czas.

Intuicja w wyniku

Wynik można intuicyjnie zrozumieć, zapisując współczynnik jako sumę:

${\ Displaystyle {\ Frac {X _ {\ tau _ {v}} }{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\sum _{i=1} ^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1}$

Pierwszy człon po prawej stronie asymptotycznie zbiega się do zera, podczas gdy drugi człon jest jakościowo podobny do wzoru na sumowanie centralnego twierdzenia granicznego w prostszym przypadku zmiennych losowych iid. Chociaż terminy w powyższym wyrażeniu niekoniecznie są iid, są nieskorelowane i mają zerową średnią. Rzeczywiście:

${\ Displaystyle E [(X_ {i + 1} -X_ {i})] = 0, \ dla wszystkich ja \ w \ {1,2,3, ... \}}$

${\ Displaystyle E [(X_ {i + 1} -X_ {i}) (X_ {j + 1} -X_ {j})] = 0, \ dla wszystkich ja \ neq j, i, j \ w \ { 1,2,3,...\}}$

Wiele innych wariantów centralnego twierdzenia granicznego martingale można znaleźć w:

•   Hall, Piotr; Heyde, CC (1980). Teoria granic Martingale'a i jej zastosowanie . Nowy Jork: prasa akademicka. ISBN 0-12-319350-8 .

Zauważ jednak, że dowód Twierdzenia 5.4 w Hall & Heyde zawiera błąd. W celu dalszej dyskusji zob

•   Bradley, Richard (1988). „O niektórych wynikach MI Gordin: wyjaśnienie nieporozumienia”. Dziennik prawdopodobieństwa teoretycznego . Skoczek. 1 (2): 115–119. doi : 10.1007/BF01046930 . S2CID 120698528 .