Centralne twierdzenie graniczne dla statystyki kierunkowej

W teorii prawdopodobieństwa centralne twierdzenie graniczne określa warunki, w których średnia wystarczająco dużej liczby niezależnych zmiennych losowych , z których każda ma skończoną średnią i wariancję, będzie miała w przybliżeniu rozkład normalny .

Statystyka kierunkowa to poddyscyplina statystyki , ^która zajmuje się kierunkami ( wektorami jednostkowymi w Rn ), osiami (linie przechodzące przez początek układu współrzędnych ^{w Rn} ) lub obrotami w Rn . Wszystkie średnie i wariancje wielkości kierunkowych są skończone, więc centralne twierdzenie graniczne można zastosować do konkretnego przypadku statystyki kierunkowej.

W tym artykule zajmiemy się tylko wektorami jednostkowymi w przestrzeni dwuwymiarowej ( R ² ), ale opisaną metodę można rozszerzyć na przypadek ogólny.

Centralne twierdzenie graniczne

$Displaystyle$ próbka kątów , a ponieważ są one nieokreślone z dokładnością do współczynnika $2 \ pi}$ , złożona określona wielkość ${\ Displaystyle z_ {i} = e ^ {i \ teta _ {i}} = \ cos (\ teta _ {i}) + ja \ grzech ( \theta _{i})}$ jest używane jako zmienna losowa. Rozkład prawdopodobieństwa, z którego losowana jest próba, można scharakteryzować za pomocą jego momentów, które można wyrazić w postaci kartezjańskiej i biegunowej:

${\ Displaystyle m_ {n} = E (z ^ {n}) = C_ {n} + iS_ {n} = R_ {n}e^{i\theta_{n}}\,}$

Wynika, że:

$\ Displaystyle C_ {n} = E (\ cos (n \ teta)} \,}$

${\ Displaystyle S_ { n}=E(\sin(n\theta ))\,}$

${\ Displaystyle R_ {n} = | E (z ^ {n}) | = {\ sqrt {C_ {n} ^ {2} + S_ {n} ^ {2}}} \,}$

${\ Displaystyle \ teta _ {n} = \ arg (E (z ^ {n})) \,}$

Przykładowe momenty dla N prób to:

$\ Displaystyle {\ overline {m_ {n}}} = {\ Frac { 1}{N}}\suma _{i=1}^{N}z_{i}^{n}={\overline {C_{n}}}+i{\overline {S_{n}}}= {\overline {R_{n}}}e^{i{\overline {\theta _{n}}}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ overline {C_ {n}}} = {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {i = 1$

${\ Displaystyle {\ overline {S_ {n}}} = {\ frac {1}{N}}\suma _{i=1}^{N}\sin(n\theta _{i})}$

${\ Displaystyle {\ overline {R_ {n}}} = {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {i = 1} ^ {N} | z_ {i} ^ {n} |}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ teta _ {n}}} = {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {i = 1} ^ {N}\arg(z_{i}^{n})}$

Wektor [ ${\ Displaystyle {\ overline {C_ {1}}}, {\ overline {S_ {1}}}} ]$ może być użyty jako reprezentacja średniej próbki ${\ displaystyle ({\ overline {m_ {1}}})}$ i może być traktowany jako dwuwymiarowa zmienna losowa. Dwuwymiarowe centralne twierdzenie graniczne ${1}}}}$ , że ​​​​wspólny rozkład prawdopodobieństwa { \ Displaystyle ${$ dużej liczby próbek daje:

${\ Displaystyle [{\ overline {C_ {1}}} {\ overline {S_ {1}}} ]{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}([C_{1},S_{1}],\Sigma /N)}$

gdzie jest dwuwymiarowym rozkładem normalnym i jest macierzą kowariancji dla rozkładu kołowego : ${N}} ()}$$Displaystyle {\$

$\ Displaystyle \ Sigma = {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {CC} & \ sigma _ {CS} \\\ sigma _ {SC} & \ sigma _ {SS} \ koniec {bmatrix}} \ quad}$

$\ Displaystyle \ sigma _ {CC} = E (\ cos ^ { 2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}\,}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {CS} = \ sigma _ {SC} = E (\ cos \ teta \ sin \ teta) -E (\ cos \ teta) E (\ sin \ teta) \,}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {SS} = E (\ sin ^ {2} \ teta) -E (\ sin \ teta) ^ {2} \, }$

Należy zauważyć, że dwuwymiarowy rozkład normalny jest zdefiniowany na całej płaszczyźnie, podczas gdy średnia jest ograniczona do kuli jednostkowej (na okręgu jednostkowym lub wewnątrz niego). Oznacza to, że całka ograniczającego (dwuwymiarowego normalnego) rozkładu na kuli jednostkowej nie będzie równa jedności, ale raczej będzie zbliżać się do jedności, gdy N zbliża się do nieskończoności.

Pożądane jest określenie granicznego rozkładu dwuwymiarowego w odniesieniu do momentów rozkładu.

Macierz kowariancji pod względem momentów

tożsamości trygonometrycznych wielu kątów

${\ Displaystyle C_ {2} = E (\ cos (2 \ teta)) =E(\cos ^{2}\theta -1)=E(1-\sin ^{2}\theta )\,}$

${\ Displaystyle S_ {2} = E (\ sin (2 \ teta)) = E (2 \ cos \ teta \ sin \ teta) \,}$

Wynika, że:

$\ Displaystyle \ sigma _ {CC} = E (\ sałata ^ {2 }\theta )-E(\cos \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1+C_{2}-2C_{1}^{2}\right)}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {CS} = E$

${\ Displaystyle \ sigma _ {SS} = E ( \sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1-C_{2}-2S_{1}^{2} \Prawidłowy)}$

Macierz kowariancji jest teraz wyrażona w kategoriach momentów rozkładu kołowego.

Centralne twierdzenie graniczne można również wyrazić za pomocą biegunowych składników średniej. ${\ Displaystyle P ({\ overline {C_ {1}}}, {\ overline {S_ {1}}}) d {$ do ${\ Displaystyle d {\ overline {C_ {1}} } d{\overline {S_{1}}}}$ to prawdopodobieństwo znalezienia średniej w elemencie obszaru , to prawdopodobieństwo to można również zapisać ${\ Displaystyle P ({\ overline {R_ {1}}} \ cos ({\ overline {\ theta _ {1}}}), {\ overline {R_ {1}}} \ sin ({\overline {\theta _{1}}}){\overline {R_{1}}}d{\overline {R_{1}}}d{\overline {\theta_{1}}}}$ .