Charakterystyka rozkładów prawdopodobieństwa

W matematyce ogólnie twierdzenie o charakterystyce mówi, że określony obiekt - funkcja, przestrzeń itp. - jest jedynym, który posiada właściwości określone w twierdzeniu. Charakterystyka rozkładu prawdopodobieństwa stwierdza zatem, że jest to jedyny rozkład prawdopodobieństwa , który spełnia określone warunki. Dokładniej, model charakterystyki rozkładu prawdopodobieństwa został opisany przez VM Zolotarev w ten sposób. $, d_ {u})}$ przestrzeni prawdopodobieństwa definiujemy przestrzeń losowych o wartościach w mierzalnej przestrzeni metrycznej $\$$Displaystyle$ i przestrzeń zmiennych $(V,d_{v})}$ o wartościach w mierzalnej przestrzeni metrycznej ${\ mathcal {Y}} = \ {Y$$Displaystyle$ . Poprzez charakterystykę rozkładów $wyodrębnianie$ rozumiemy ogólne problemy opisu jakiegoś zbioru $przestrzeni$ poprzez zbiorów ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ subseteq {\ mathcal {X}}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal {Y}}},$ które opisują właściwości zmiennych losowych ${\ Displaystyle X \ in {\ mathcal {A}}}$ i ich obrazy ${\ Displaystyle Y = \ mathbf {F} X \ in {\ mathcal {B}}}$ , uzyskane za pomocą specjalnie wybranego mapowania ${\ displaystyle \ mathbf {F}: {\ mathcal {X}} \ do {\ mathcal {Y}}}$ . Opis właściwości zmiennych losowych $\ Displaystyle$ ich obrazów $} \ mathcal {$ równoznaczny ze wskazaniem zbioru $}} \ subseteq {\ mathcal {X}}},$$Displaystyle$$Displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal { Y}}},$ z którego należy pobrać i ze zbioru $\$ do którego musi wpaść jego obraz. Interesujący nas zbiór występuje zatem w następującej postaci:

${\ Displaystyle X \ w {\ mathcal {A}}, \ mathbf {F} X \ w {\ mathcal {B}} \ Strzałka w lewo X \ w {\ mathcal {C}}, tj. {\mathcal {C}}=\mathbf {F} ^{-1}{\mathcal {B}},}$

gdzie oznacza pełny odwrotny obraz $w$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}$ ZA ${ \mathcal {A}}}$ . Jest to ogólny model charakteryzowania rozkładu prawdopodobieństwa. Kilka przykładów twierdzeń o charakterystyce:

• Założenie, że dwie liniowe (lub nieliniowe) statystyki mają identyczny rozkład (lub są niezależne, lub mają regresję stałości itd.) może być wykorzystane do scharakteryzowania różnych populacji. Na przykład, zgodnie z George'a Pólyi o charakterystyce $,$ jeśli i $są$ niezależnymi zmiennymi losowymi ${\ Displaystyle S_ {1} = X_ {1}}$ identycznym rozkładzie skończoną wariancją , i $}$${\ Displaystyle S_ {2} = {\ cfrac {X_ {1} + X_ {2}} {\ sqrt {2 }$$mają$ identyczny rozkład wtedy i tylko wtedy, gdy $i$ mają rozkład normalny ze . fa

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 & 0 \\ 1/{\ sqrt {2}} i 1/ {\ sqrt {2}$ , jest

{

$jest$ losowych dwuwymiarowych wektorów kolumnowych z niezależnymi składowymi o identycznym rozkładzie, ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ zbiór losowych dwuwymiarowych wektorów kolumnowych z identycznie rozłożonymi składowymi i jest zbiorem dwuwymiarowych wektorów kolumnowych z niezależnymi składowymi normalnymi o identycznym $.$

• Zgodnie z uogólnionym twierdzeniem o charakterystyce George'a Pólyi (bez warunku skończoności wariancji ), jeśli ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ kropki, X_ {n}}$ są nie- $\ Displaystyle a_ {1} X_ {1} + a_ {$ niezależne zmienne losowe o identycznym rozkładzie, statystyki $i$ za są identycznie rozłożone i $1}$${\ Displaystyle \ lewo | a_ {j} \ prawo \ vert <1, a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ { 2} + \ kropki + a_ {$${\ displaystyle j ,j=1,2,\kropki ,n}$${2}$ , wtedy jest normalną zmienną losową dla dowolnego . W tym przypadku

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 & 0 & \ kropki i 0 \\ a_ {1} i a_ {2} i \ kropki & a_ { n} \ koniec {bmatrix}}}$ , jest

$ZA$ losowych n -wymiarowych wektorów kolumnowych z niezależnymi składowymi o identycznym rozkładzie, $\ displaystyle {\ mathcal {B}} }$ to zbiór losowych dwuwymiarowych wektorów kolumnowych z identycznie rozłożonymi składowymi, a $to$ zbiór n -wymiarowych wektorów kolumnowych z niezależnymi składowymi normalnymi o identycznym rozkładzie

• prawdopodobieństwa na półprostej, które są pozbawione $pamięci$ . „Bez pamięci ${\ displaystyle 0 <y <x$ oznacza, że ​​jeśli jest zmienną losową o takim rozkładzie, to dla dowolnych liczb $}$ ,

${\ Displaystyle \ Pr (X> x \ mid X> y) = \ Pr (X> xy)}$ .

Weryfikacja warunków twierdzeń charakteryzacji w praktyce jest możliwa tylko z pewnym błędem $,$ . tylko z pewnym stopniem dokładności. Taką sytuację obserwujemy np. w przypadku próby o skończonej liczebności. Dlatego powstaje następujące naturalne pytanie. Załóżmy, że warunki twierdzenia o charakterystyce są spełnione nie dokładnie, ale tylko w przybliżeniu. Czy możemy stwierdzić, że wniosek twierdzenia jest również spełniony w przybliżeniu? Twierdzenia, w których rozpatrywane są tego rodzaju problemy, nazywane są charakterystykami stabilności rozkładów prawdopodobieństwa.

Zobacz też

• Charakteryzacja (matematyka)