Dokładna para

W matematyce dokładna para , ze względu na Williama S. Masseya ( 1952 ), jest ogólnym źródłem sekwencji widmowych . Jest to powszechne zwłaszcza w topologii algebraicznej ; na przykład sekwencję widmową Serre'a można skonstruować, najpierw konstruując dokładną parę.

Aby zapoznać się z definicją dokładnej pary i skonstruowaniem z niej sekwencji widmowej (która jest natychmiastowa), zobacz Sekwencja widmowa § Sekwencja widmowa dokładnej pary . Aby zapoznać się z podstawowym przykładem, zobacz sekwencję widmową Bocksteina . Niniejszy artykuł obejmuje dodatkowe materiały.

Dokładna para przefiltrowanego kompleksu

Niech R będzie pierścieniem, który jest ustalony w całej dyskusji. Zauważ $,$ że jeśli R to , to moduły nad R to to samo, co abelowe .

Każdy przefiltrowany kompleks łańcuchowy modułów określa dokładną parę, która z kolei określa sekwencję widmową w następujący sposób. Niech C będzie złożonym łańcuchem stopniowanym przez liczby całkowite i załóżmy, że ma rosnącą filtrację: dla każdej liczby całkowitej p istnieje inkluzja kompleksów:

${\ Displaystyle F_ {p-1} C \ podzbiór F_ {p} C.}$

Z filtracji można utworzyć powiązany stopniowany kompleks :

$\ Displaystyle \ operatorname {gr} C = \ bigoplus _ {- \ infty} ^ {\ infty} F_ {p} C / F_ ​​{p -1}C,}$

który jest podwójnie stopniowany i który jest zerową stroną sekwencji widmowej:

${\ Displaystyle E_ {p, q} ^ {0} = (\ nazwa operatora {gr} C) _ {p, q} = (F_ {p} C / F_ ​​{p-1} C) _ {p + q} .}$

Aby uzyskać pierwszą stronę, dla każdego ustalonego p przyjrzymy się krótkiej dokładnej sekwencji zespołów:

${\ Displaystyle 0 \ do F_ {p-1} C \ do F_ {p} C \ do (\ operatorname {gr} C) _ { p}\do 0}$

z którego otrzymujemy długą dokładną sekwencję homologii: ( p jest nadal ustalone)

${\ Displaystyle \cdots \do H_{n}(F_{p-1}C){\overset {i}{\do }}H_{n}(F_{p}C){\overset {j}{\do }} H_{n}(\operatorname {gr} (C)_{p}){\overset {k}{\to}}H_{n-1}(F_{p-1}C)\to \cdots}$

Z notacją ${\ Displaystyle D_ {p, q} = H_ {p + q}(F_{p}C),\,E_{p,q}^{1}=H_{p+q}(\operatorname {gr} (C)_{p})}, powyższe brzmi$ :

$\ Displaystyle \ cdots \ do D_ {p-1, q + 1 }{\overset {i}{\to}}D_{p,q}{\overset {j}{\to}}E_{p,q}^{1}{\overset {k}{\to}} D_{p-1,q}\do \cdots ,}$

${\ Displaystyle E ^ {1}$ dokładną parą i $Displaystyle E ^ {1}} . mi 1$ złożeniem z różniczką \ Para pochodna tej dokładnej pary daje drugą stronę i wykonujemy iterację. W końcu otrzymuje się kompleksy z różniczką re : $\ Displaystyle E_ {*, *} ^ {r}}$

${\ Displaystyle E_ {p, q} ^ {r} {\ overset {k} {\ do}} D_ {p-1, q} ^ {r} {\ overset {{} ^ {r} j} {\ do }}E_{pr,q+r-1}^{r}.}$

Następny lemat podaje bardziej wyraźny wzór na sekwencję widmową; w szczególności pokazuje, że sekwencja widmowa skonstruowana powyżej jest taka sama w bardziej tradycyjnej konstrukcji bezpośredniej, w której używa się poniższego wzoru jako definicji (por. Sekwencja widmowa # Sekwencja widmowa przefiltrowanego kompleksu ).

Lemat - Niech $F_ {pr} C \}}$${\ Displaystyle A_ {p} ^ {r} = \ {c \ in F_ {p} C \ mid d (c) \$${\ displaystyle F_ {p} C$ , który dziedziczy -stopniowanie $. fa p$ . Następnie dla każdego str

${\ Displaystyle E_ {p, *} ^ {r} \ simeq {A_ {p} ^ {r} \ nad d (A_ {p + r-1} ^ {r-1}) + A_ {p-1} ^{r-1}}.}$

Szkic dowodu: Pamiętając, łatwo zauważyć: ${\ Displaystyle d = j \ circ k}$

${\ Displaystyle Z ^ {r} = k ^ {- 1} (\ nazwa operatora {im} i ^ {r} ),\,B^{r}=j(\operatorname {ker} i^{r}),}$

gdzie są postrzegane jako podkompleksy ${\ displaystyle E ^ {1}}$ .

Napiszemy słupek dla ${\ Displaystyle F_ {p} C \ do F_ {p} C/F_ {p-1} C}$ . Teraz, jeśli ${\ Displaystyle [{\ overline {x}}] \ w Z_ {p, q} ^ {r-1} \ podzbiór E_ {p, q} ^ {1}}$ , potem ${\ Displaystyle k ([{\ overline {x}}]) = i ^ {r- 1} ([y])}$ dla niektórych ${\ Displaystyle [y] \ w D_ {pr, q + r-1}=H_{p+q-1}(F_{p}C)}$ . Z drugiej strony, pamiętanie k jest łączącym homomorfizmem, ${\ Displaystyle k ([{\ overline {x}}]) = [d (x)]}$ gdzie x jest przedstawicielem mieszkającym w ${\ Displaystyle (F_ {p} C) _ {p + q}}$ . W ten sposób możemy napisać: re $\ Displaystyle d (x) -i ^ {r-1} (y) = d (x')}$ trochę $do {\ Displaystyle x '\ in F_ {p-1} C$ . Stąd ${\ Displaystyle [{\ overline {x}}] \ w Z_ {p} ^ {r} \ Strzałka w lewo x \ w A_ {p} ^ {r }}$ modulo ${\ Displaystyle F_ {p-1} C}$ dając ${\ Displaystyle Z_ {p} ^ {r}\simeq (A_{p}^{r}+F_{p-1}C)/F_{p-1}C}$ .

Następnie zauważamy, że klasa w ${\ Displaystyle \ operatorname {ker} (i ^{r-1}:H_{p+q}(F_{p}C)\to H_{p+q}(F_{p+r-1}C))} jest reprezentowane przez cykl x$ taki , że ${\ Displaystyle x \ w d (F_ {p + r-1} do)}$ . Stąd, ${\ Displaystyle B_ {p} ^ {r-1} = j (\ nazwa operatora {ker} i ^ {r-1}) \ simeq (d (A_ { p+r-1}^{r-1})+F_{p-1}C)/F_{p-1}C}$ j przez , $jot$ .

Wnioskujemy: ponieważ ${\ Displaystyle A_ {p} ^ {r} \ czapka F_ {p-1} C = A_ {p-1} ^ { r-1}}$ ,

${\ Displaystyle E_ {p, *} ^ {r} = {Z_ {p} ^ {r-1} \ nad B_ {p} ^ {r-1}} \ simeq {A_ {p} ^ {r} +F_{p-1}C \over d(A_{p+r-1}^{r-1})+F_{p-1}C}\simeq {A_{p}^{r} \over d (A_{p+r-1}^{r-1})+A_{p-1}^{r-1}}.\qquad \kwadrat }$

Twierdzenie - Jeśli i dla każdego n istnieje liczba całkowita ${ \ Displaystyle$ ​​do $= \ kubek _ {p} F_ {p}$${\ Displaystyle F_ {s (n)} C_ {n} = 0}$ , wtedy sekwencja widmowa mi ^r zbiega się do ${\ Displaystyle H_ {*} (C)}$ ; to znaczy ${\ Displaystyle E_ {p, q} ^ {\ infty} = F_ {p} H_ {p+q}(C)/F_{p-1}H_{p+q}(C)}$ .

Dowód: Zobacz ostatnią sekcję maja. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Dokładna para podwójnego kompleksu

Podwójny kompleks określa dwie dokładne pary; skąd dwie sekwencje widmowe, jak następuje. $będzie$ poziomą i pionową). Niech podwójnym Z notacją ${\ Displaystyle G ^ {p} = \ bigoplus _ {i \ geq p} K ^ {i, *}}$ , dla każdego ze stałym p , mamy dokładna sekwencja kompleksów kołańcuchowych:

${\ Displaystyle 0 \ do G ^ {p + 1} \ do G ^ {p} \ do K ^ {p, *} \ do 0.}$

Biorąc tego kohomologię, otrzymujemy dokładną parę:

${\ Displaystyle \ cdots \ do D ^ {p, q} {\ overset {j} {\ do}} E_ {1} ^ {p, q }{\overset {k}{\do}}\cdots}$

Przez symetrię, to znaczy przez zamianę pierwszego i drugiego indeksu, uzyskuje się również drugą dokładną parę.

Przykład: sekwencja widmowa Serre'a

Sekwencja widmowa Serre'a wynika z fibracji :

${\ Displaystyle F \ do E \ do B.}$

Ze względu na przejrzystość rozważamy tylko przypadek, gdy przestrzenie są zespołami CW , F jest spójny , a B jest po prostu spójny ; ogólny przypadek obejmuje więcej szczegółów technicznych (mianowicie lokalny system współczynników ).

Notatki

• Maj, J. Peter , Elementarz o sekwencjach widmowych (PDF)
•   Massey, William S. (1952), „Dokładne pary w topologii algebraicznej. I, II”, Annals of Mathematics , druga seria, 56 : 363–396, doi : 10,2307/1969805 , MR 0052770 .
•    Weibel, Charles A. (1994), Wprowadzenie do algebry homologicznej , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 38, Cambridge: Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139644136 , ISBN 0-521-43500-5 , MR 1269324