Dowody elementarnych własności pierścienia

Następujące dowody elementarnych właściwości pierścieni wykorzystują tylko aksjomaty definiujące pierścień matematyczny :

Podstawy

Mnożenie przez zero

Twierdzenie: ${\ Displaystyle 0 \ cdot a = a \ cdot 0 = 0}$

(Kliknij „pokaż” po prawej stronie, aby zobaczyć dowód tego twierdzenia lub „ukryj”, aby go ukryć.)

${\ Displaystyle 0 \ cdot a = (0 + 0) \ cdot a = (0 \ cdot a) + (0 \ cdot a)}$

Odejmując (tj. dodając addytywną odwrotność) $stronach$ równania, otrzymujemy pożądany wynik. Dowód $jest$ .

Unikalny element tożsamości na operację binarną

Twierdzenie: Element identyczności e operacji binarnej (dodawania lub mnożenia) pierścienia jest unikalny.

(Kliknij „pokaż” po prawej stronie, aby zobaczyć dowód tego twierdzenia lub „ukryj”, aby go ukryć.)

Jeśli istnieje inny element tożsamości $,$ operacji binarnej, to ${\ Displaystyle e'a = ae' = a}$ a kiedy $\ displaystyle za = e}$ , ${\ Displaystyle e'e = ee' = e = e'}$ gdzie ${\ displaystyle ab}$ to operacja binarna na elementach pierścienia ${\ displaystyle a}$ i ${\ displaystyle b}$ .

Unikalny addytywny element odwrotny

Twierdzenie: - a jako addytywny element odwrotny do a jest unikalny.

(Kliknij „pokaż” po prawej stronie, aby zobaczyć dowód tego twierdzenia lub „ukryj”, aby go ukryć.)

Jeśli istnieje $odwrotny$$-a=-a+0=-a+aa'=0-a'=-a'}$ dla to $za$${$ .

Unikalny multiplikatywny element odwrotny

Twierdzenie: a ⁻¹ jako multiplikatywny element odwrotny dla a jest unikalny.

(Kliknij „pokaż” po prawej stronie, aby zobaczyć dowód tego twierdzenia lub „ukryj”, aby go ukryć.)

istnieje $dla$ to $1$ za ${\ Displaystyle a ^ {-1} = a ^ {-1} \ razy 1 = a ^ {-1} \ razy a \ razy a ^ {-1'} = 1 \ razy a ^ {-1'} = a^{-1'}}$ .

Pierścień zerowy

Twierdzenie: Pierścień jest pierścieniem zerowym (to znaczy składa się z dokładnie jednego elementu) wtedy i tylko wtedy ${$$0=1$.

(Kliknij „pokaż” po prawej stronie, aby zobaczyć dowód tego twierdzenia lub „ukryj”, aby go ukryć.)

Załóżmy, że ${\ displaystyle 1 = 0}$ . Niech $elementem$ w ${\ displaystyle R}$ ; wtedy ${\ Displaystyle a = a \ cdot 1 = a \ cdot 0 = 0}$ . Dlatego ${\ Displaystyle (R, +, \ cdot)}$ jest pierścieniem zerowym. I odwrotnie, jeśli ${\ Displaystyle (R, +, \ cdot)}$ jest pierścieniem zerowym, z definicji musi zawierać dokładnie jeden element. Dlatego i $displaystyle 1}$${\$ to ten sam element, tj. ${\ displaystyle 0 = 1}$ .

Mnożenie przez ujemną jedynkę

Twierdzenie: ${\ Displaystyle (-1) a = -a}$

(Kliknij „pokaż” po prawej stronie, aby zobaczyć dowód tego twierdzenia lub „ukryj”, aby go ukryć.)

${\ Displaystyle (-1) \ cdot a + a = (-1 )\cdot a+1\cdot a=((-1)+1)\cdot a=0\cdot a=0}$

Dlatego ${\ Displaystyle (-1) \ cdot a = (-1) \ cdot a + 0 = (-1) \ cdot a + (a + (-a)) = ((-1) \ cdot a + a)+(-a)=0+(-a)=(-a)}$ .

Mnożenie przez addytywną odwrotność

Twierdzenie: ${\ Displaystyle (-a) \ cdot b = a \ cdot (-b) = - (ab)}$

(Kliknij „pokaż” po prawej stronie, aby zobaczyć dowód tego twierdzenia lub „ukryj”, aby go ukryć.)

Aby udowodnić, że pierwsze wyrażenie jest równe drugiemu, ${\ Displaystyle (-a) \ cdot b = ((-1) \ cdot a) \ cdot b = (a \ cdot (-1)) \ cdot b = a \ cdot ((-1) \ cdot b) = a(-b).}$

Aby udowodnić, że pierwsze wyrażenie jest równe trzeciemu, ${\ Displaystyle (-a) \ cdot b = ((-1) \ cdot a) \ cdot b = (-1) \ cdot (a \ cdot b).}$

Pseudopierścień niekoniecznie musi mieć multiplikatywny element tożsamości . ${ \displaystyle (a\cdot b)}$ udowodnić, że pierwsze wyrażenie jest równe trzeciemu bez zakładania istnienia tożsamości multiplikatywnej, pokazujemy, że ${\ Displaystyle (-a) \ cdot b}$ jest rzeczywiście odwrotnością , pokazując, że dodanie ich daje addytywny element tożsamości,

${\ Displaystyle (a \ cdot b) + (-a) \ cdot b = (aa) \ cdot b = 0 \cdot b=0}$ .