Dowody związane z rozkładem chi-kwadrat

Główny artykuł: rozkład chi-kwadrat

Poniżej przedstawiono dowody kilku cech związanych z rozkładem chi-kwadrat .

Pochodne pdf

Wyprowadzenie pdf dla jednego stopnia swobody

Niech zmienna losowa Y będzie zdefiniowana jako Y = X ² , gdzie X ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją 1 (czyli X ~ N (0,1)).

Wtedy ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {2} {\ text {for}} ~ y <0, & ~ ~ P (Y <y) = 0 ~ ~ {\ tekst {i}} \\ {\ tekst { for}}~y\geq 0,&~~P(Y<y)=P(X^{2}<y)=P(|X|<{\sqrt {y}})=P(-{\ sqrt {y}}<X<{\sqrt {y}})\\~~&=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}}) =F_{X}({\sqrt {y}})-(1-F_{X}({\sqrt {y}}))=2F_{X}({\sqrt {y}})-1\end {wyrównana data}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f_ {Y} (y) & = 2 {\ Frac {d} {dy}} F_ {X} ({\ sqrt {y}}) -0 = 2 {\ Frac { d}{dy}}\left(\int _{-\infty}^{\sqrt {y}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi}}}e^{\frac {-t^ {2}}{2}}dt\right)\\&=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi}}}e^{-{\frac {y}{2}}}({ \sqrt {y}})'_{y}=2{\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt {\pi}}}}e^{-{\frac {y}{2 }}}\left({\frac {1}{2}}y^{-{\frac {1}{2}}}\right)={\frac {1}{2^{\frac {1} {2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}y^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {y}{2}}} \end{wyrównane}}}$

Gdzie i są $.$$i$ odpowiednich zmiennych losowych

Wtedy ${\ Displaystyle Y = X ^ {2} \ sim \ chi _ {1} ^ {2}.}$

Alternatywny dowód bezpośrednio przy użyciu zmiany formuły zmiennej

Zmiana formuły zmiennej (niejawnie wyprowadzona powyżej) dla transformacji monotonicznej wynosi: ${\ Displaystyle y = g (x)}$

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = \ suma _ {i} f_ {X} (g_ {i} ^ {-1} (y)} \ lewo | {\ Frac {dg_ {i} ^ {- 1 }(y)}{dy}}\prawo|.}$

W tym przypadku zmiana nie jest monotoniczna, ponieważ każda wartość $.$$odpowiadające$ sobie wartości (jedna dodatnia i ujemna) Jednak ze względu na symetrię obie połówki przekształcą się identycznie, tj

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = 2f_ {X} (g ^ {-1} (y)} \ lewo | {\ Frac {dg ^ {-1} (y)} {dy}} \ prawo | .}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dg ^ {-1} (y)} {dy}} = {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}}.}$$_$ transformacja _

Więc tu:

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = 2 {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {-y / 2} {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {y} }}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

I otrzymujemy rozkład chi-kwadrat, zwracając uwagę na właściwość funkcji gamma : ${\ Displaystyle \ Gamma (1/2) = {\ sqrt {\ pi}}}$ .

Wyprowadzenie pdf dla dwóch stopni swobody

Istnieje kilka metod wyznaczania rozkładu chi-kwadrat z 2 stopniami swobody. Oto jeden oparty na rozkładzie z 1 stopniem swobody.

Załóżmy, że i ${\ displaystyle$$y}$ są dwiema niezależnymi zmiennymi spełniającymi ${\ Displaystyle x \ sim \ chi _ {1} ^ {2}}$ y $\ displaystyle y \ sim \ chi _ {1} ^ {2}}$ , tak że funkcje gęstości prawdopodobieństwa i ${\ displaystyle x}$ i ${\ displaystyle y}$ są odpowiednio: x { \ displaystyle x}

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {2 ^ {\ Frac {1} {2}} \ Gamma ({\frac {1}{2}})}}x^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x}{2}}}}$

I

${\ Displaystyle f (y) = {\ Frac {1} {2 ^ {\ Frac {1} {2}} \ Gamma ({\frac {1}{2}})}}y^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {y}{2}}}}$

Po prostu możemy wyprowadzić łączną dystrybucję i ${\ displaystyle y}$ : ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} (xy) ^ { -{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x+y}{2}}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Gamma ({\ Frac {1} {2}}) ^ {2}}$ zostaje zastąpione przez ${\ Displaystyle \ pi}$ . Ponadto, niech ${\ Displaystyle A = xy}$ i ${\ Displaystyle B = x + y}$ , możemy otrzymać, że:

${\ Displaystyle x = {\ Frac {B + {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}$

I

${\ Displaystyle y = {\ Frac {B- {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}$

lub odwrotnie

${\ Displaystyle x = {\ Frac {B- {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}$

I

${\ Displaystyle y = {\ Frac {B + {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}$

Ponieważ dwie polityki zmian zmiennych są symetryczne, bierzemy górną i mnożymy wynik przez 2. Jakobianowy wyznacznik można obliczyć jako:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {jakobian} \ lewo ({\ Frac {x, y} {A, B}} \ prawej) = {\ rozpocząć {vmatrix} - (B ^ {2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}&{\frac {1+B(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}} }}{2}}\\(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}&{\frac {1-B(B^{2}-4A)^{ -{\frac {1}{2}}}}{2}}\\\end{vmatrix}}=(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Teraz możemy zmienić ${\ Displaystyle f (A, B)}$${\ Displaystyle f (x, y)$ x }

${\ Displaystyle f (A, B) = 2 \ razy {\ Frac {1} 2\pi }}A^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {B}{2}}}(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}$

gdzie wiodąca stała 2 ma uwzględniać obie polityki zmian zmiennych. Na $displaystyle$ integrujemy, aby uzyskać rozkład , tj. $A$$}$

${\ Displaystyle f (B) = 2 \ razy {\ Frac {e ^ {-{\frac {B}{2}}}}{2\pi}}\int _{0}^{\frac {B^{2}}{4}}A^{-{\frac {1 }{2}}}(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}dA}$

Niech ${\ Displaystyle A = {\ Frac {B ^ {2}} {4}} \ sin ^ {2} (t)}$ , równanie można zmienić na:

${\ Displaystyle f (B) = 2 \ razy {\ Frac {e ^ {- {\ Frac {B} {2}}}} { 2\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\,dt}$

Tak więc wynik jest następujący:

${\ Displaystyle f (B) = {\ Frac {e ^ {- {\ Frac {B} {2}}}} {2}}}$

Wyprowadzenie pdf dla k stopni swobody

Rozważmy, że $k$ reprezentuje pojedynczy punkt w k- przestrzeni. Rozkład chi-kwadrat dla k stopni swobody będzie wtedy określony wzorem:

${\ Displaystyle P (Q) \, dQ = \ int _ {\ mathcal {V}} \ prod _ {i = 1} ^ {k} (N (x_ {i} )\,dx_{i})=\int _{\mathcal {V}}{\frac {e^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_ {k}^{2})/2}}{(2\pi)^{k/2}}}\,dx_{1}\,dx_{2}\cdots dx_{k}}$

gdzie jest standardowym $rozkładem$ normalnym i tą elementarną objętością powłoki w ( x $)$ proporcjonalna do k - 1)-wymiarowa powierzchnia w k -przestrzeń dla której

${\ Displaystyle Q = \ suma _ {i = 1} ^ {k} x_ {i} ^ {2}}$

Można zauważyć, że ta powierzchnia jest powierzchnią k -wymiarowej kuli lub, alternatywnie, n-kuli , gdzie n = k - 1 o promieniu i ${\ displaystyle R = {\ sqrt {Q}}$ } że termin w wykładniku jest po prostu wyrażony jako Q . Ponieważ jest to stała, można ją usunąć z wnętrza całki.

${\ Displaystyle P (Q) \ dQ = {\ Frac {e ^ {- Q/2}}{(2\pi )^{k/2}}}\int _{\mathcal {V}}dx_{1}\,dx_{2}\cdots dx_{k}}$

Całka jest teraz po prostu polem powierzchni A kuli ( k - 1) pomnożonej przez nieskończenie małą grubość kuli, która jest

${\ Displaystyle dR = {\ Frac {dQ} {2Q ^ {1/2}}}.}$

Pole a ( k − 1)-sfery wynosi:

${\ Displaystyle A = {\ Frac {2R ^ {k-1} \ pi ^ {k/2}} {\ Gamma (k/2) }}}$

Podstawiając, zdając sobie sprawę, że i anulowanie warunków daje: ${\ Displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z)}$

${\ Displaystyle P (Q) \, dQ = {\ Frac {e ^ {-Q / 2}} {(2 \ pi) ^ {k / 2}}} A \, dR = {\ Frac {1} 2^{k/2}\Gamma (k/2)}}Q^{k/2-1}e^{-Q/2}\,dQ}$