Drewniane tabliczki Akhmim

Drewniane tabliczki Akhmim , znane również jako drewniane tabliczki kairskie (Cairo Cat. 25367 i 25368 ), to dwie drewniane tabliczki do pisania ze starożytnego Egiptu , rozwiązujące zadania arytmetyczne. Każdy z nich ma wymiary około 18 na 10 cali (460 mm × 250 mm) i jest pokryty tynkiem . Tablice są opisane z obu stron. Inskrypcje hieroglificzne na pierwszej tabliczce zawierają listę służących, po której następuje tekst matematyczny. Tekst jest datowany na rok 38 (początkowo sądzono, że pochodzi z roku 28) panowania nienazwanego skądinąd króla. Ogólne datowanie na wczesne egipskie Państwo Środka w połączeniu z rokiem panowania sugeruje, że tabliczki mogą pochodzić z czasów panowania faraona Senusreta I z XII dynastii , ok. 1950 pne. Druga tabliczka również wymienia kilku sług i zawiera dalsze teksty matematyczne.

Tabliczki znajdują się obecnie w Muzeum Starożytności Egipskich w Kairze . Tekst został zgłoszony przez Daressy'ego w 1901 roku, a później przeanalizowany i opublikowany w 1906 roku.

Pierwsza połowa tabliczki wyszczególnia pięć mnożeń hekata , jednostki objętości składającej się z 64 dja , przez 1/3, 1/7, 1/10, 1/11 i 1/13. Odpowiedzi zostały zapisane w binarnych Oka Horusa i dokładnych resztach ułamków egipskich , przeskalowanych do współczynnika 1/320 o nazwie ro . Druga połowa dokumentu wykazała poprawność pięciu odpowiedzi dzielenia, mnożąc dwuczęściowy iloraz i odpowiedź reszty przez odpowiednią (3, 7, 10, 11 i 13) dywidendę, która zwróciła jedność ab initio hekat , 64/64 .

W 2002 roku Hana Vymazalová uzyskała świeżą kopię tekstu z Muzeum w Kairze i potwierdziła, że ​​wszystkie pięć dwuczęściowych odpowiedzi zostało poprawnie sprawdzonych pod kątem dokładności przez skrybę, który zwrócił jedność 64/64 hekatów. Drobne błędy typograficzne w kopii dwóch problemów Daressy'ego, podział danych przez 11 i 13, zostały w tym czasie poprawione. Dowód, że wszystkie pięć podziałów było dokładnych, podejrzewał Daressy, ale został udowodniony dopiero w 1906 roku.

Treść matematyczna

1/3 przypadku

Pierwszy problem dzieli 1 hekat , zapisując go jako ${\ Displaystyle 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1 / 16+1/32+1/64}$ + (5 ro ) (co równa się 1) i podzielenie tego wyrażenia przez 3.

• Pisarz najpierw dzieli resztę z 5 ro przez 3 i ustala, że ​​jest ona równa (1 + 2/3) ro .
• Następnie skryba znajduje 1/3 reszty równania i określa, że ​​jest równa ${\ Displaystyle 1/4 + 1/16 + 1/64}$ .
• Ostatni krok w zadaniu polega na sprawdzeniu, czy odpowiedź jest poprawna. Skryba mnoży ${\ Displaystyle 1/4 + 1/16 + 1/64 + (1 + 2/3) ro}$ przez 3 i pokazuje, że odpowiedź to (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) + (5 ro ), o czym wie, że jest równe 1.

We współczesnej notacji matematycznej można by powiedzieć, że skryba wykazał, że 3-krotność ułamka hekat (1/4 + 1/16 + 1/64) równa się 63/64, a 3-krotność reszty (1 + 2 /3) ro , jest równe 5 ro , co jest równe 1/64 hekata , co daje początkową jedność hekata (64/64).

Inne frakcje

Inne problemy na tablicach zostały obliczone tą samą techniką. Pisarz użył tożsamości 1 hekat = 320 ro i podzielił 64 przez 7, 10, 11 i 13. Na przykład w obliczeniach 1/11 dzielenie 64 przez 11 dało 5 z resztą 45/11 ro . Odpowiadało to (1/16 + 1/64) hekat + (4 + 1/11) ro . Sprawdzenie pracy wymagało od skryby pomnożenia dwuczęściowej liczby przez 11 i wykazało wynik 63/64 + 1/64 = 64/64, jak podano we wszystkich pięciu dowodach.

Dokładność

Obliczenia wykazują kilka drobnych błędów. Na przykład w obliczeniach 1/7 powiedziano, że ${\ displaystyle 2 \ razy 7}$ wynosi 12, a dwukrotność tego 24 we wszystkich kopiach problemu. Pomyłka występuje dokładnie w tym samym miejscu w każdej z wersji tego problemu, ale mimo tego błędu skryba udaje się znaleźć poprawną odpowiedź, gdyż jedność 64/64 hekat kieruje jego myśleniem. Czwarty egzemplarz podziału 1/7 zawiera dodatkowy drobny błąd w jednym z wierszy.

Obliczenia 1/11 powtarzają się cztery razy, a problemy pojawiają się tuż obok siebie, pozostawiając wrażenie, że skryba ćwiczy procedurę obliczeniową. Obliczenie 1/13 pojawia się raz w pełnej postaci i dwa razy tylko z częściowymi obliczeniami. W obliczeniach są błędy, ale skryba znajduje poprawną odpowiedź. 1/10 to jedyny ułamek obliczany tylko raz. W obliczeniach tego problemu nie ma błędów.

Problemy Hekat w innych tekstach

Rhind Mathematical Papyrus (RMP) zawierał ponad 60 przykładów mnożenia i dzielenia hekata w RMP 35, 36, 37, 38, 47, 80, 81, 82, 83 i 84. Problemy były inne, ponieważ jedność hekat została zmieniona z 64/64 binarny hekat i standard pozostałej części ro w razie potrzeby do drugiego standardu 320/320 zapisanego w 320 oświadczeniach ro. Niektóre przykłady obejmują:

• W zadaniach 35–38 znajdź ułamki hekatu . Zadanie 38 przeskalowało jeden hekat do 320 ro i pomnożyło przez 7/22. Odpowiedź 101 9/11 ro została udowodniona przez pomnożenie przez 22/7, faktów, o których Claggett i uczeni nie wspominali przed Vymazalova.
• Zadanie 47 przeskalowane do 100 hekatów do (6400/64) i pomnożone (6400/64) przez 1/10, 1/20, 1/30, 1/40, 1/50, 1/60, 1/70, 1/80 , 1/90 i 1/100 ułamków do ilorazu binarnego i 1/1320 (ro) pozostałych ułamków jednostkowych.
• Zadanie 80 dało 5 ułamków oka Horusa hekata i równoważne ułamki jako wyrażenia innej jednostki zwanej hindu . Pozostały one niejasne przed Vymazalovą. Problem 81 generalnie przekonwertował wyrażenia binarne ilorazu jedności hekata i reszty ro na równoważne jednostki hinduskie 1/10, co wyjaśnia znaczenie danych RMP 80.

Papirus Ebersa to słynny tekst medyczny późnego Państwa Środka. Jego surowe dane zostały zapisane w jednoczęściowych hekatach , sugerowanych przez drewniane tabliczki Akhim, obsługujące dzielniki większe niż 64.

Inny:

• Gardener, Milo, „An Ancient Egyptian Problem and its Innovative Arithmetic Solution”, Ganita Bharati, 2006, tom 28, Biuletyn Indyjskiego Towarzystwa Historii Matematyki, MD Publications, New Delhi, s. 157–173. https://independent.academia.edu/MiloGardner/Papers/163573/The_Arithmetic_used_to_Solve_an_Ancient_Horus-Eye_Problem
•   Gillings, R. Matematyka w czasach faraonów . Boston, MA: MIT Press, s. 202–205, 1972. ISBN 0-262-07045-6 . (Nakład wyczerpany)

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Drewniana tabliczka Akhmim” . MathWorld . Skalowane pozostałości AWT