Dual BCH to niezależne źródło

Pewna rodzina kodów BCH ma szczególnie użyteczną właściwość, która polega na tym, że traktowane jako operatory liniowe , ich podwójne operatory zamieniają $wejściowe$ w niezależne źródło . Oznacza to, że zbiór wektorów z wejściowej przestrzeni wektorowej jest $odwzorowywany$ na niezależne źródło. Dowód tego faktu poniżej jako $lemat i wniosek$ derandomizacji algorytmu dla do MAXEkSAT .

Lemat

Niech będzie kodem liniowym takim, że $łokieć +1}$$n}}$ niż $⊆$$\ Displaystyle$ . Wtedy $jest$ niezależnym $_$ .

Dowód lematu

Wystarczy pokazać, że dana dowolna macierz $,$ k jest większe lub równe l taka że ranga M wynosi l , dla wszystkich $\ displaystyle x \ in F_ {2} ^ {k}}$ k , ${\ displaystyle xM}$$przyjmuje$ w taką samą liczbę razy

Ponieważ M ma rangę l , możemy zapisać M jako dwie macierze tego samego rozmiaru, i ${\ Displaystyle M_ {1}}$ i ${\ Displaystyle M_ {2}}$ , gdzie ${\ Displaystyle M_ {1} }$ ma rangę równą l . Oznacza to, że można przepisać jako $\ Displaystyle$${\ Displaystyle x_ {1} M_ {1} + x_ {2} M_ {2}}$ pewnego $displaystyle x_ {1}}$${$ i ${\ displaystyle x_ {2}}$ .

Jeśli weźmiemy pod uwagę M napisane w odniesieniu do podstawy, w której pierwsze l wierszy $M_ {2}}$ macierz tożsamości, to ma zera wszędzie tam, gdzie $displaystyle$ niezerowe wiersze, a $\ Displaystyle x_ {2}}$$niezerowe$ ma zera wszędzie tam, gdzie wiersze.

Teraz dowolną wartość y , gdzie ${\ Displaystyle y = xM}$ , można zapisać jako ${\ Displaystyle x_ {1} M_ {1} + x_ {2} M_ {2 }}$ dla niektórych wektorów ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ .

Możemy to przepisać jako:

${\ Displaystyle x_ {1} M_ {1} = y-x_ {2} M_ {2}}$

Ustalanie wartości ostatnich współrzędnych $2$$}}$${\ Displaystyle 2 ^ {kl}}$ zauważ, że jest dokładnie takie wybory), możemy ponownie zapisać to równanie jako:

${\ Displaystyle x_ {1} M_ {1} = b}$ dla jakiegoś b .

Ponieważ $l$${kl}}$ równą , istnieje dokładnie jedno rozwiązanie $displaystyle$ całkowita liczba rozwiązań wynosi dokładnie - $2$ , dowodząc lematu.

Następstwo

Przypomnijmy, że BCH _{2, m , re} jest za ${\ Displaystyle [n = 2 ^ {m}, n-1-\ lceil {d-2}/2\rceil m,d]_{2}}$ kod liniowy.

Niech będzie BCH _{2,log n , ℓ +1 .} do $\ perp}}$ Wtedy jest niezależnym źródłem wielkości $)}$$) {\ Displaystyle O (n$$/ 2 \$ .

Dowód wniosku

Wymiar d C jest po prostu $\ Displaystyle \ lceil {(\ ell + 1-2) / {2}} \ rceil \ log n + 1}$ { . Więc ${\ Displaystyle d = \ lceil {(\ ell -1)}/2 \ rceil \ log n +1=\lfloor \ell /2\rfloor \log n+1}$ .

Tak więc liczność $rozpatrywana$ jako zbiór jest po prostu $})}$${\ Displaystyle 2 ^ {d} = O (n ^ {\ lfloor \ ell / 2 \$ , udowadniając wniosek.

Notatki z teorii kodowania na Uniwersytecie w Buffalo

Notatki z teorii kodowania w MIT