Dyfrakcja na szczelinach

Aby uzyskać więcej informacji na ten temat, zobacz Dyfrakcja .

Procesy dyfrakcyjne wpływające na fale są podatne na ilościowy opis i analizę. Takie zabiegi stosuje się do fali przechodzącej przez jedną lub więcej szczelin, których szerokość jest określona jako proporcja długości fali . Można zastosować przybliżenia numeryczne , w tym przybliżenia Fresnela i Fraunhofera .

Dyfrakcja fali skalarnej przechodzącej przez szczelinę o szerokości 1 długości fali

Dyfrakcja fali skalarnej przechodzącej przez szczelinę o szerokości 4 długości fali

Dyfrakcja ogólna

Ponieważ dyfrakcja jest wynikiem dodania wszystkich fal (o danej długości fali) wzdłuż wszystkich niezakłóconych ścieżek, zwykłą procedurą jest rozważenie wkładu nieskończenie małego sąsiedztwa wokół określonej ścieżki (ten wkład jest zwykle nazywany falką ), a następnie całkowanie po wszystkie ścieżki (= dodaj wszystkie falki) od źródła do detektora (lub danego punktu na ekranie).

Zatem w celu określenia wzoru wytwarzanego przez dyfrakcję obliczana jest faza i amplituda każdej z falek. Oznacza to, że w każdym punkcie przestrzeni musimy określić odległość do każdego z prostych źródeł na nadchodzącym czole fali. Jeśli odległość do każdego z prostych źródeł różni się o całkowitą liczbę długości fal, wszystkie falki będą w fazie, co spowoduje konstruktywną interferencję. Jeśli odległość do każdego źródła jest liczbą całkowitą plus połowa długości fali, nastąpi kompletna destrukcyjna interferencja. Zazwyczaj wystarczy określić te minima i maksima, aby wyjaśnić zaobserwowane efekty dyfrakcyjne.

Najprostsze opisy dyfrakcji to takie, w których sytuację można zredukować do problemu dwuwymiarowego. W przypadku fal wodnych tak już jest, ponieważ fale wodne rozchodzą się tylko na powierzchni wody. W przypadku światła często możemy zaniedbać jeden wymiar, jeśli obiekt dyfrakcyjny rozciąga się w tym kierunku na odległość znacznie większą niż długość fali. W przypadku światła przechodzącego przez małe okrągłe otwory będziemy musieli liczyć się z pełną trójwymiarowością problemu.

W odniesieniu do dyfrakcji można ogólnie dokonać kilku jakościowych obserwacji:

• Kątowe odstępy cech na obrazie dyfrakcyjnym są odwrotnie proporcjonalne do wymiarów obiektu powodującego dyfrakcję. Innymi słowy: im mniejszy obiekt dyfrakcyjny, tym szerszy wynikowy obraz dyfrakcyjny i odwrotnie. (Dokładniej, dotyczy to sinusów kątów ).
• Kąty dyfrakcji są niezmienne przy skalowaniu; to znaczy zależą tylko od stosunku długości fali do rozmiaru obiektu dyfrakcyjnego.
• Kiedy obiekt dyfrakcyjny ma strukturę okresową, na przykład w siatce dyfrakcyjnej, cechy generalnie stają się ostrzejsze. Na przykład czwarta figura przedstawia porównanie podwójnymi szczelinami ze wzorem utworzonym przez pięć szczelin, przy czym oba zestawy szczelin mają takie same odstępy między środkiem jednej szczeliny i następnej.

przybliżenia

Problem obliczenia, jak wygląda fala ugięta, polega na określeniu fazy każdego z prostych źródeł na froncie fali nadchodzącej. Matematycznie łatwiej jest rozważyć przypadek dyfrakcji pola dalekiego lub dyfrakcji Fraunhofera , gdzie punkt obserwacji jest daleko od punktu dyfrakcji przeszkody, w wyniku czego obejmuje mniej złożoną matematykę niż bardziej ogólny przypadek pola bliskiego lub Fresnela dyfrakcja . Aby uczynić to stwierdzenie bardziej ilościowym, rozważ dyfrakcyjny obiekt u źródła, który ma rozmiar ${\ displaystyle a}$ . Dla pewności powiedzmy $od$ że uginamy światło i interesuje nas, jak wygląda intensywność na ekranie w pewnej odległości obiektu. W pewnym momencie na ekranie długość ścieżki do jednej strony obiektu jest określona przez twierdzenie Pitagorasa

${\ Displaystyle S = {\ sqrt {L ^ {2} + (x + a/2) ^ {2}}}}$

Jeśli teraz rozważymy sytuację, w której długość ścieżki staje się ${\ Displaystyle L \ gg (x + a/2)}$

$${\ Displaystyle S \ w przybliżeniu \ lewo (L + {\ Frac {(x + a/2)^{2}}{2L}}\right)=L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}+{\frac {a^ {2}}{8L}}}$$

To jest przybliżenie Fresnela. Aby jeszcze bardziej uprościć sprawę: jeśli obiekt dyfrakcyjny jest znacznie mniejszy niż odległość $.$ ostatni człon przyczyni się do długości ścieżki znacznie mniej niż długość fali, a następnie nie zmieni fazy w zauważalny sposób To jest $\ Displaystyle {\ Frac {a ^ {2}} {L}} \ ll \ lambda}$ . Rezultatem jest przybliżenie Fraunhofera, które jest ważne tylko bardzo daleko od obiektu

$${\ Displaystyle S \ około L + {\ Frac {x ^ {2}} {2L}} + {\ Frac {xa} {2L}}}$$

W zależności od wielkości obiektu dyfrakcyjnego, odległości od obiektu i długości fali, przybliżenie Fresnela, przybliżenie Fraunhofera lub żadne z tych przybliżeń może nie być ważne. Wraz ze wzrostem odległości między zmierzonym punktem dyfrakcji a punktem przeszkody przewidywane wzory dyfrakcji lub wyniki zbiegają się w kierunku dyfrakcji Fraunhofera, która jest częściej obserwowana w naturze ze względu na bardzo małą długość fali światła widzialnego.

Wiele wąskich szczelin

Prosty opis ilościowy

Diagram problemu dyfrakcji na dwóch szczelinach, przedstawiający kąt do pierwszego minimum, gdzie różnica długości drogi wynosząca połowę długości fali powoduje destrukcyjną interferencję.

Układy z wieloma szczelinami można matematycznie uznać za wiele prostych źródeł fal, jeśli szczeliny są wystarczająco wąskie. W przypadku światła szczelina jest otworem, który jest nieskończenie rozciągnięty w jednym wymiarze, co skutkuje redukcją problemu falowego w przestrzeni 3D do prostszego problemu w przestrzeni 2D. Najprostszym przypadkiem są dwie wąskie szczeliny oddalone ${\ displaystyle \ a}$ . Aby wyznaczyć maksima i minima w amplitudzie musimy wyznaczyć różnicę dróg do pierwszej i drugiej szczeliny. W przybliżeniu Fraunhofera, gdy obserwator znajduje się daleko od szczelin, różnica w długości drogi do dwóch szczelin może być widoczna na obrazie jako

$${\ Displaystyle \ Delta S = {a} \ sin \ teta}$$

Maksima natężenia występują, gdy ta różnica długości dróg jest całkowitą liczbą długości fal.

$${\ Displaystyle a \ sin \ teta = n \ lambda}$$

Gdzie

• ${\ displaystyle n}$ jest liczbą całkowitą oznaczającą kolejność każdego maksimum,
• ${\ displaystyle \ lambda}$ to długość fali,
• ${\ displaystyle a}$ to odległość między szczelinami i
• ${\ displaystyle \ theta}$ to kąt, pod którym zachodzi konstruktywna interferencja.

Odpowiednie minima znajdują się przy różnicach ścieżek o liczbie całkowitej plus połowa długości fali:

$${\ Displaystyle a \ sin \ theta = \ lambda (n + 1/2) \,.}$$

Dla układu szczelin położenia minimów i maksimów nie ulegają zmianie, natomiast prążki widoczne na ekranie stają się ostrzejsze, co widać na obrazku.

Dyfrakcja światła czerwonego lasera na 2 i 5 szczelinach

Opis matematyczny

Aby obliczyć ten wzorzec intensywności, należy wprowadzić bardziej wyrafinowane metody. Matematyczna reprezentacja fali radialnej jest dana przez

$${\ Displaystyle E (r) = A \ cos (kr- \ omega t + \ phi) / r}$$

gdzie ${\ Displaystyle k = {\ Frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$ , ${\ Displaystyle \ lambda}$ to długość fali, ${\ Displaystyle \ omega}$ to częstotliwość fali i ${\ Displaystyle \ phi}$ jest fazą fali na szczelinach w czasie t = 0. Fala na ekranie w pewnej odległości od płaszczyzny szczelin jest sumą fal emanujących z każdej ze szczelin . Aby trochę $ułatwić$ ten problem, wprowadzamy falę zespoloną której część rzeczywista jest równa mi $\ displaystyle E}$

$${\ Displaystyle \ psi (r) = Ae ^ {i (kr- \ omega t + \ phi)} / r}$$

$${\ Displaystyle E (r) = \ operatorname {Re} (\ Psi (r))}$$

Wartość bezwzględna tej funkcji daje amplitudę fali, a złożona faza funkcji odpowiada fazie fali. $.$ się jako złożoną amplitudę W przypadku szczelin całkowita fala w punkcie $\ displaystyle \ x}$ ekranie wynosi ${$

$${\ Displaystyle \ Psi _ {\ tekst {suma}} = Ae ^ {i (- \ omega t + \ phi)} \ suma _ {n = 0} ^ {N-1} {\ Frac {e ^ {ik { \sqrt {(x-na)^{2}+L^{2}}}}}{\sqrt {\left(x-na\right)^{2}+L^{2}}}}.}$$

Ponieważ na razie interesuje nas tylko amplituda i względna faza, możemy zignorować wszelkie ogólne czynniki fazowe, które nie są zależne od lub $displaystyle$$n}$ . Przybliżamy ${\ Displaystyle {\ sqrt {(x-na) ^ {2} + L ^ {2}}} \ około L+(x-na)^{2}/2L}$ . W granicy Fraunhofera możemy zaniedbać wyrazy rzędu $/$ i wszelkie wyrazy obejmujące za $a/L$ lub $_$ _ Suma staje się

$${\ Displaystyle \ Psi = A {\ Frac {e ^ { i\left(k({\frac {x^{2}}{2L}}+L)-\omega t+\phi \right)}}{L}}\suma _{n=0}^{N- 1}e^{-ik{\frac {xna}{L}}}}$$

Suma ma postać sumy geometrycznej i można ją oszacować jako dającą

$${ \ Displaystyle \ Psi = A {\ Frac {e ^ {i \ lewo (k ({\ Frac {x ^ {2} - (N-1) ax} {2L}} + L) - \ omega t + \ phi \ right)}}{L}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2L}}\right)}{\sin \left({\frac {kax}{2L}}\right) }}}$$

Intensywność jest określona przez wartość bezwzględną kwadratu amplitudy zespolonej

$${\ Displaystyle I (x) = \ Psi \ Psi ^ {*} = | \ Psi | ^ {2} =I_{0}\left({\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2L}}\right)}{\sin \left({\frac {kax}{2L}}\right) }}\prawo)^{2}}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ Psi ^ {*}}$ oznacza złożony koniugat Ψ $\ Displaystyle \ Psi}$ .

Pojedyncza szczelina

Numeryczne przybliżenie obrazu dyfrakcyjnego ze szczeliny o szerokości równej długości fali padającej fali płaskiej w wizualizacji 3D blue

Numeryczne przybliżenie obrazu dyfrakcyjnego ze szczeliny o szerokości czterech długości fali z padającą falą płaską. Widoczna jest główna wiązka środkowa, zera i odwrócenie faz.

Wykres i obraz dyfrakcji na pojedynczej szczelinie

Jako przykład, można teraz wyprowadzić dokładne równanie dla intensywności obrazu dyfrakcyjnego w funkcji kąta w przypadku dyfrakcji na pojedynczej szczelinie.

Do rozpoczęcia równania można użyć matematycznej reprezentacji zasady Huygensa .

Rozważ monochromatyczną zespoloną falę płaską o długości fali λ padającą na szczelinę o szerokości a Ψ $pierwsza}}$ \

Jeśli szczelina leży w płaszczyźnie x′-y′, a jej środek znajduje się w początku, to można przyjąć, że dyfrakcja generuje falę zespoloną ψ, rozchodzącą się promieniowo w kierunku r od szczeliny, co wyraża się wzorem:

$${\ Displaystyle \ Psi = \ int _ {\ operatorname {szczelina}} {\ Frac {i} {r \ lambda}} \Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {szczelina} }$$

Niech ( x ′, y ′, 0) będzie punktem wewnątrz szczeliny, nad którym jest on całkowany. Jeśli ( x , 0, z ) jest miejscem, w którym obliczana jest intensywność obrazu dyfrakcyjnego, szczelina rozciąga się od ${\ Displaystyle x'= -a/2}$ do ${\ Displaystyle + a/2 \,}$ i od ${\ Displaystyle y' = - \ infty}$ do ${\ Displaystyle \ infty}$ .

Odległość r od szczeliny wynosi:

$${\ Displaystyle R = {\ sqrt {\ lewo (xx ^ {\ pierwsza} \ prawa) ^ {2} + y ^ {\ pierwsza 2} + z^{2}}}}$$

$${\ Displaystyle r = z \ lewo (1 + {\ Frac {\ lewo (xx ^ {\ pierwsza} \ prawo) ^ {2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$

Zakładając dyfrakcję Fraunhofera, dojdziemy do wniosku ${\ Displaystyle Z \ gg {\ duży |} \ lewo (xx ^ {\ pierwsza} \ prawo) {\ duży |}}$ . Innymi słowy, odległość do celu jest znacznie większa niż szerokość dyfrakcji na celu. Zgodnie z rozwinięcia dwumianowego , ignorując warunki kwadratowe i wyższe, wielkość po prawej stronie można oszacować na:

$${\ Displaystyle r \ około z \ lewo (1 + {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {\ lewo (xx'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)}$$

$${\ Displaystyle r \ około z + {\ Frac {\ lewo (xx '\ prawo) ^ {2} + y ^ {\ pierwsza 2}} { 2z}}}$$

Można zauważyć, że 1/ r przed równaniem jest nieoscylacyjne, tj. jego udział w wielkości natężenia jest niewielki w porównaniu z naszymi czynnikami wykładniczymi. Dlatego stracimy trochę dokładności, przybliżając ją jako 1/ z .

$$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ psi & = { \frac {i\Psi '}{z\lambda }}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\int _{-\infty }^ {\infty}e^{-ik\left[z+{\frac {\left(xx'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy' \,dx'\\&={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}e^{-ikz}\int _{-{\frac {a}{2}}}^ {\frac {a}{2}}e^{-ik\left[{\frac {\left(xx'\right)^{2}}{2z}}\right]}\,dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[{\frac {y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\\&= \Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda}}}e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\int _{-{\frac {a }{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx'}{z}}e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\ ,dx'\end{wyrównane}}}$$

Aby wszystko było czystsze, symbol zastępczy C jest używany do oznaczania stałych w równaniu. Należy pamiętać, że C może zawierać liczby urojone, dlatego funkcja falowa będzie złożona. Jednak na końcu ψ zostanie ujęte w nawiasy, co wyeliminuje wszelkie wyimaginowane komponenty.

Teraz, w dyfrakcji Fraunhofera, jest mała, więc $}} \ około 1}$$-$$e ^ {$$wykładniczym$ zwróć uwagę, że uczestniczy w tym i jest całkowany).

$przeciwieństwie$ termin wyeliminować z równania, ponieważ

$${\ Displaystyle \ lewo \ langle e ^ {\ Frac {-ikx ^ {2}} {2z}} | e ^ {\ Frac {-ikx ^ {2}} {2z}} \ prawo \ rangle = e ^ { \frac {-ikx^{2}}{2z}}\left(e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right)^{*}=e^{\frac {-ikx ^{2}}{2z}}e^{\frac {+ikx^{2}}{2z}}=e^{0}=1}$$

(Z tego samego powodu wyeliminowaliśmy również termin ${\ Displaystyle e ^ {-ikz}}$ )

Do $} {z \ lambda}}}$ }

$${\ Displaystyle \ Psi = C \ int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx^{\prime}}{z}}\,dx^{\prime} =C{\frac {e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}}{\frac {ikx}{z}}}}$$

wzoru Eulera i jego pochodnych można zauważyć , że ${\ Displaystyle \ sin x = {\ Frac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}}} 2i}}}$ i ${\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ Frac {x} {z}}}$ .

$$\ Displaystyle \ Psi = aC {\ Frac {\ sin {\ Frac$$

gdzie (nieznormalizowana) funkcja sinc jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle \ operatorname {sinc} (x) \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}} {=} }\ {\frac {\sin(x)}{x}}}$ .

Teraz, podstawiając w , intensywność (kwadrat amplitudy) $Displaystyle$ fal pod kątem θ wynosi ${\ Frac {2 \ pi}} {\ lambda}} = k$ } podane przez:

$${\ Displaystyle I (\ teta) = I_ {0} {\ lewo [\ operatorname {sinc} \ lewo ({\ Frac {\ pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]}^{2}}$$

Wiele szczelin

Dyfrakcja światła czerwonego lasera na podwójnej szczelinie

Dyfrakcja na 2 i 5 szczelinach

Zacznijmy ponownie od matematycznego przedstawienia zasady Huygensa .

$${\ Displaystyle \ Psi = \ int _ {\ operatorname {szczelina}} {\ Frac {i} {r \ lambda}} \Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {szczelina} }$$

Rozważmy $o$ płaszczyźnie $podstawowej$ równej $.$$wzdłuż$ odstępach osi Jak wyżej, odległość od szczeliny 1 wynosi: ${\ displaystyle r}$

$${\ Displaystyle r = z \ lewo (1 + {\ Frac {\ lewo (xx ^ {\ pierwsza} \ prawo) ^ {2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$

Aby uogólnić to na $gdy$ , zauważamy, że podczas $\ pierwsza$ pozostają stałe, x $Displaystyle x ^ {$$}$

$${\ Displaystyle x_ {j = 0 \ cdots n-1} ^ {\ pierwsza} = x_ {0} ^ {\ pierwsza} -jd}$$

Zatem

$${\ Displaystyle r_ {j} = z \ lewo (1 + {\ Frac {\ lewo (xx ^ { \prime }-jd\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$

a suma wszystkich wkładów w funkcję falową wynosi: ${\ displaystyle N}$

$${\ Displaystyle \ Psi =\suma _{j=0}^{N-1}C\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left( x'-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\,dx^{\prime }}$$

$zauważając,$ że małe, więc ${\ Displaystyle e ^ {\ Frac {-ik \ lewo (x'-jd \ prawo) ^ {2} {2z}} \ około 1}$ , mamy:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Psi & = C \ suma _ {j = 0} ^ {N-1} \ int _ {- {a}/{2}} ^ {{a} / { 2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }\\&=aC\sum _{j=0} ^ {N-1} {\ frac {\ lewo (e ^ {{\ frac {ikax} {2z}} - {\ frac {ijkxd} {z}}} -e ^ {{\ frac {-ikax} 2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}e ^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\ frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta}{2}}} \sum _{j=0}^{N-1}e^{ijkd\sin \theta }\end{wyrównane}}}$$

Teraz możemy użyć następującej tożsamości

$${\ Displaystyle \ suma _ {j = 0} ^ {N-1} e ^ {xj} = {\ Frac {1-e ^ {Nx}} {1-e ^ {x}}}.}$$

Podstawiając do naszego równania, znajdujemy:

$$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane }\Psi &=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta}{2}}}\left({\frac {1 -e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \ theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta}{2}}}\left({\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta}{2}}}-e ^{iNkd{\frac {\sin \theta}{2}}}}{e^{-ikd{\frac {\sin \theta}{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \ theta }{2}}}}}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta}}{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \ theta }{2}}}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta}{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta}{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta}{2}} }}{2i}}{\frac {e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta}{2}}}}{ 2i}}}\left(e^{i(N-1)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin \left ({\frac {ka\sin \theta}{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta}{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta}{2}}\right)}}e^{i\left(N-1\right)kd {\frac {\sin \theta}{2}}}\end{wyrównane}}}$$

Teraz dokonujemy $, jak w$ jak poprzednio i przedstawiamy wszystkie stałe nieoscylacyjne za pomocą zmiennej $dyfrakcji$ na 1 szczelinie i umieszczamy wynik w nawiasie Zapamietaj to

$${\ Displaystyle \ lewo \ langle e ^ {ix} {\ duży |} e ^ {ix} \ prawo \ rangle = e ^ {0} = 1}$$

To pozwala nam odrzucić wykładnik ogonowy i mamy odpowiedź:

$${\ Displaystyle I \ lewo (\theta \right)=I_{0}\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]^{2}\ cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda}}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{ \lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}}$$

Ogólny przypadek pola dalekiego

W polu dalekim, gdzie r jest zasadniczo stałe, wówczas równanie:

$${\ Displaystyle \ Psi = \ int _ {\ operatorname {szczelina}} {\ Frac {i} {r \ lambda}} \Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {szczelina} }$$

jest równoważne wykonaniu transformaty Fouriera na lukach w barierze.

Zobacz też

• Siatka dyfrakcyjna
• Koperta (fale)
• Analiza Fouriera
• Interferometr ze szczeliną N
• Teleskopy radiowe