Efektywne średnie przybliżenia

W materiałoznawstwie przybliżenia efektywnych ośrodków ( EMA ) lub teoria efektywnych ośrodków ( EMT ) dotyczą modelowania analitycznego lub teoretycznego opisującego makroskopowe właściwości materiałów kompozytowych . EMA lub EMT są opracowywane na podstawie uśrednienia wielu wartości składników, które bezpośrednio tworzą materiał kompozytowy. Na poziomie składowym wartości materiałów różnią się i są niejednorodne . Dokładne obliczenie wielu wartości składowych jest prawie niemożliwe. Jednak opracowano teorie, które mogą dać akceptowalne przybliżenia, które z kolei opisują użyteczne parametry, w tym efektywną przenikalność i przepuszczalność materiałów jako całości. W tym sensie przybliżenia ośrodka efektywnego to opisy ośrodka (materiału kompozytowego) oparte na właściwościach i względnych ułamkach jego składników i wyprowadzane z obliczeń oraz teorii ośrodka efektywnego . Istnieją dwa powszechnie stosowane formuły.

Efektywna przenikalność i przepuszczalność to uśrednione właściwości dielektryczne i magnetyczne ośrodka mikroniejednorodnego. Oba wyprowadzono w przybliżeniu quasi-statycznym , gdy pole elektryczne wewnątrz cząstki mieszaniny można uznać za jednorodne. Tak więc te wzory nie mogą opisywać efektu wielkości cząstek. Podejmowano wiele prób udoskonalenia tych formuł.

Aplikacje

Istnieje wiele różnych efektywnych przybliżeń medium, z których każde jest mniej lub bardziej dokładne w różnych warunkach. Niemniej jednak wszyscy zakładają, że układ makroskopowy jest jednorodny i, co jest typowe dla wszystkich teorii pola średniego, nie potrafią przewidzieć właściwości ośrodka wielofazowego bliskiego progowi perkolacji ze względu na brak korelacji dalekiego zasięgu lub krytycznych fluktuacji w teorii .

$ośrodka$ właściwości to $stała$ przewodnictwo lub dielektryczna . Parametry te są wymienne we wzorach w całej gamie modeli ze względu na szerokie zastosowanie równania Laplace'a. Problemy, które nie mieszczą się w tej klasie, dotyczą głównie sprężystości i hydrodynamiki, ze względu na tensoryczny charakter efektywnych stałych ośrodka wyższego rzędu.

EMA mogą być modelami dyskretnymi, takimi jak stosowane do sieci rezystorów, lub teoriami kontinuum stosowanymi do elastyczności lub lepkości. Jednak większość obecnych teorii ma trudności z opisaniem systemów perkolacyjnych. Rzeczywiście, spośród wielu przybliżeń efektywnych ośrodków, tylko symetryczna teoria Bruggemana jest w stanie przewidzieć próg. Ta charakterystyczna cecha tej ostatniej teorii stawia ją w tej samej kategorii, co inne teorie pola średniego zjawisk krytycznych .

modelu Bruggemana

Dla mieszaniny dwóch materiałów z przenikalnościami $}$$ułamkami$ odpowiednimi objętościowymi $Displaystyle c_ {m$${\ displaystyle c_ {i}}$ i , DAG Bruggeman zaproponował formułę o następującej postaci:

$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ operatorname {eff}} = {\ Frac {H_ {b} + {\ sqrt {H_ {b} ^ {2} + 8 \ varepsilon _ {m} \ varepsilon _ {d}} }}{4}},{\text{z }}H_{b}=(3c_{d}-1)\varepsilon _{d}+(3c_{m}-1)\varepsilon _{m}.}$$

 

 

 

 

()

W tym przypadku znak dodatni przed pierwiastkiem kwadratowym należy w niektórych przypadkach zamienić na znak ujemny, aby uzyskać poprawną część urojoną efektywnej przenikalności zespolonej, która jest związana z tłumieniem fali elektromagnetycznej. Formuła jest symetryczna pod względem zamiany ról „d” i „m”. Formuła ta opiera się na równości

$$\ mathbf {r}) E_{n}(\mathbf {r})ds-\varepsilon _{\mathrm {eff}}\iint E_{0}ds=0,}$$

 

 

 

 

()

gdzie $\$ skokiem strumienia przemieszczenia elektrycznego na całej powierzchni integracji, $Displaystyle E_ {n} (\ mathbf {r})}$ jest składową mikroskopijnej energii elektrycznej Δ Φ {\ Displaystyle \ Delta \ Phi ε ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {r} (\ mathbf {r})}$ jest lokalną względną przenikalnością zespoloną, która przyjmuje wartość $\ Displaystyle \ varepsilon _ {m} }$ wewnątrz wybranej cząstki metalu, wartość $varepsilon$ cząstki dielektrycznej i wartość $_ {\ operatorname {eff}}}$ wybraną cząstka $.$ normalnym składnikiem makroskopowego pola elektrycznego Formuła (4) wychodzi z równości Maxwella ${\ Displaystyle \ operatorname {div} (\ varepsilon _ {r} \ mathbf {E}) = 0}$ . Zatem w podejściu Bruggemana brana jest pod uwagę tylko jedna wybrana cząstka. Interakcja ze wszystkimi innymi cząstkami jest brana pod uwagę tylko w przybliżeniu średniego pola opisanym przez ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ operatorname {eff}}}$ . Wzór (3) daje rozsądną krzywą rezonansową dla wzbudzeń plazmonowych w nanocząstkach metali, jeśli ich rozmiar wynosi 10 nm lub mniej. Nie jest jednak w stanie opisać obserwowanej w eksperymencie zależności wielkościowej od częstotliwości rezonansowej wzbudzeń plazmonowych

Formuły

Nie tracąc ogólności, rozważymy badanie przewodnictwa efektywnego (które może być zarówno stałe, jak i zmienne) dla układu złożonego z kulistych wtrąceń wieloskładnikowych o różnych przewodnościach dowolnych. Wówczas wzór Bruggemana przyjmuje postać:

Inkluzje kołowe i sferyczne

$${\ Displaystyle \ suma _ {i} \ \ delta _ {i} \, {\ Frac {\ sigma _ {i} - \sigma _{e}}{\sigma _{i}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0}$$

 

 

 

 

()

W systemie o euklidesowym wymiarze przestrzennym $liczbę$ składników, suma jest obliczana na podstawie wszystkich składników. $Displaystyle \ delta _ {i}}$ \ i $są$ i przewodnictwem każdego składnika, a ${\ Displaystyle \ sigma _ {e}}$ efektywne przewodnictwo medium. (Suma po ' $jedność$ .)

Inkluzje eliptyczne i elipsoidalne

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {n}} \ \ delta \ alfa + {\ frac {(1-\delta )(\sigma _{m}-\sigma _{e})}{\sigma _{m}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\, 0}$$

 

 

 

 

()

Jest to uogólnienie równania. ( $sigma _ {m}}$$m$ { \ . Ułamek wtrąceń jest ${\ displaystyle \ delta},$$a$ system jest . Dla losowo zorientowanych inkluzji,

$${\ Displaystyle \ alfa \ = \ {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {j = 1}^{n}\,{\frac {\sigma -\sigma _{e}}{\sigma _{e}+L_{j}(\sigma -\sigma _{e})}}}$$

 

 

 

 

()

gdzie $”$ oznaczają odpowiedni dublet / tryplet czynników depolaryzacji, który jest regulowany przez stosunki między osiami elipsy / elipsoidy. Na przykład: w przypadku koła ( , ${\ Displaystyle L_ {1} = 1/2}$ , ${\ Displaystyle L_ {2} = 1/2} )$ iw w przypadku kuli ( ${\ Displaystyle L_ {1} = 1/3}$ , ${\ Displaystyle L_ {2} = 1/3}$ , ${\ Displaystyle L_ {3} = 1/3}$ ). (Suma po $”$ to jedność.)

Najbardziej ogólny przypadek, do którego zastosowano podejście Bruggemana, dotyczy bianizotropowych inkluzji elipsoidalnych.

Pochodzenie

Rysunek ilustruje medium dwuskładnikowe. Rozważ zakreskowaną objętość przewodności $\ sigma _ {1}$ weź ją jako kulę o objętości $\ displaystyle$ załóż, że jest osadzona w jednolitym ośrodku o efektywnej przewodności $} \displaystyle \sigma _{e}}$ . Jeśli pole elektryczne daleko od inkluzji wynosi , to elementarne rozważania prowadzą do momentu dipolowego związanego z objętością ${\ displaystyle {\ overline {E_ {0}}}}$

$${\ Displaystyle {\ overline {p}} \, \ propto \, V \, {\ Frac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {1} + 2 \ sigma _ { e}}}\,{\overline {E_{0}}}\,.}$$

 

 

 

 

()

Ta polaryzacja powoduje odchylenie od ${\ displaystyle {\ overline {E_ {0}}}}$ . Jeśli średnie odchylenie ma zniknąć, całkowita polaryzacja zsumowana dla dwóch typów inkluzji musi zniknąć. Zatem

$${\ Displaystyle \ delta _ {1} {\ Frac {\ sigma _ {1} - \ sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,+\,\delta _{2}{\frac {\sigma _{2}-\sigma _{e} }{\sigma _{2}+2\sigma _{e}}}\,=\,0}$$

 

 

 

 

()

gdzie i $\$$2. Można$ łatwo rozszerzyć na system $displaystyle n}$${$ , który ma dowolną liczbę komponentów. Wszystkie przypadki można połączyć, aby uzyskać równanie. (1).

równanie (1) można również uzyskać, wymagając zaniku odchylenia prądu. Wyprowadzono to tutaj z założenia, że ​​inkluzje są kuliste i można je modyfikować dla kształtów innymi czynnikami depolaryzacyjnymi; prowadząc do równania (2).

Dostępne jest również bardziej ogólne wyprowadzenie mające zastosowanie do materiałów bianizotropowych.

Modelowanie systemów perkolacyjnych

Głównym przybliżeniem jest to, że wszystkie domeny znajdują się w równoważnym średnim polu. Niestety, nie dzieje się tak w pobliżu progu perkolacji, gdzie systemem rządzi największe skupisko przewodników, jakim jest fraktal, oraz korelacje dalekiego zasięgu, które są całkowicie nieobecne w prostym wzorze Bruggemana. Wartości progowe na ogół nie są prawidłowo przewidywane. W EMA wynosi 33%, w trzech wymiarach, daleko od 16% oczekiwanych z teorii perkolacji i obserwowanych w eksperymentach. Jednak w dwóch wymiarach EMA podaje próg 50% i udowodniono, że stosunkowo dobrze modeluje perkolację.

Równanie Maxwella Garnetta

W przybliżeniu Maxwella Garnetta ośrodek efektywny składa się z ośrodka macierzowego z i wtrąceń z ${\ displaystyle \ varepsilon$$m}}}$ . Maxwell Garnett był synem fizyka Williama Garnetta i został nazwany na cześć przyjaciela Garnetta, Jamesa Clerka Maxwella . Zaproponował swoją formułę wyjaśniającą kolorowe obrazy obserwowane w okularach domieszkowanych nanocząstkami metalu. Jego formuła ma formę

$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ tekst {eff}} = \ varepsilon _{d}\lewo[1+3c_{m}{\frac {\varepsilon _{m}-\varepsilon _{d}}{\varepsilon _{m}+2\varepsilon _{d}-c_{m }(\varepsilon _{m}-\varepsilon _{d})}}\right],}$$

 

 

 

 

()

gdzie ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ tekst {eff}}}$ jest efektywną względną zespoloną przenikalnością elektryczną mieszaniny, ${\ displaystyle \ varepsilon _ {d}}$ jest względną złożoną przenikalnością elektryczną podłoża zawierającego małe sferyczne wtrącenia względnej przenikalności ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {m}}$ z ułamkiem objętości do $\ Displaystyle c_ {m} \ ll 1}$ . Formuła ta opiera się na równości

$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ tekst {eff}} = \ varepsilon _ {d} + c_ {m} {\ Frac {p_ {m}}} {\ varepsilon _{0}E}},}$$

 

 

 

 

()

gdzie jest absolutną przenikalnością $wolnej$ przestrzeni i jest elektrycznym momentem dipolowym $pojedynczej inkluzji indukowanej$ zewnętrzne pole E Jednak ta równość jest dobra tylko dla jednorodnego ośrodka i ${\ displaystyle \ varepsilon _ {d} = 1}$ . Ponadto wzór (1) pomija interakcje między pojedynczymi inkluzjami. W tych okolicznościach wzór (1) daje zbyt wąską i zbyt wysoką krzywą rezonansową dla wzbudzeń plazmonowych w nanocząstkach metali mieszaniny.

Formuła

Równanie Maxwella Garnetta brzmi:

$${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ varepsilon _ {\ operatorname {eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff}}+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac { \varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right),}$$

 

 

 

 

()

gdzie $}} jest efektywną$$wtrąceń$ dielektryczną ośrodka, i ${\ Displaystyle \varepsilon _{m}}$ macierzy; ${\ displaystyle \ delta _ {i}}$ to ułamek objętościowy inkluzji.

Równanie Maxwella Garnetta rozwiązuje się przez:

$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ operatorname {eff} }\,=\,\varepsilon _{m}\,{\frac {2\delta _{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})+\varepsilon _{i} +2\varepsilon _{m}}{2\varepsilon _{m}+\varepsilon _{i}-\delta _{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}},}$$

 

 

 

 

()

dopóki mianownik nie zniknie. Prosty kalkulator MATLAB wykorzystujący ten wzór jest następujący.

   

      

       0    
        
    
                    
                
       
        
          0
    
              
    
 % Ten prosty kalkulator MATLAB oblicza efektywną  stałą dielektryczną % mieszaniny materiału inkluzyjnego w ośrodku podstawowym  % zgodnie z teorią Maxwella Garnetta  % WEJŚCIA:  % eps_base: stała dielektryczna materiału podstawowego;  % eps_incl: stała dielektryczna materiału inkluzyjnego;  % vol_incl: część objętościowa materiału inkluzyjnego;  % OUTPUT:  % eps_mean: efektywna stała dielektryczna mieszaniny.  funkcja  eps_mean  =  MaxwellGarnettFormula  (  eps_base, eps_incl, vol_incl  )  small_number_cutoff  =  1e-6  ;  jeśli  vol_incl  <  ||  vol_incl  >  1  disp  (  'OSTRZEŻENIE: objętość materiału inkluzyjnego jest poza zakresem!'  );  czynnik  końcowy_w górę  =  2  *  (  1  -  wł_objętość  )  *  podstawa_eps  +  (  1  +  2  *  wł_objętość  )  *  wł_eps  ;  współczynnik_w dół  =  (  2  +  wł_objętość  )  *  podstawa_eps  +  (  1  -  wł_objętość  )  *  wł_eps  ;  if  abs  (  factor_down  )  <  small_number_cutoff  disp  (  'OSTRZEŻENIE: efektywne medium jest w liczbie pojedynczej!'  );  eps_mean  =  ;  inaczej  eps_mean  =  eps_base  *  factor_up  /  factor_down  ;  koniec  koniec 

Pochodzenie

Aby wyprowadzić równanie Maxwella Garnetta, zaczynamy od szeregu cząstek polaryzowalnych. Korzystając z koncepcji pola lokalnego Lorentza, otrzymujemy relację Clausiusa-Mossottiego :

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ varepsilon -1} {\ varepsilon + 2}} = {\ Frac {4 \ pi} {3}} \ suma _{j}N_{j}\alfa _{j}}$$

Gdzie $jest$ cząstek na jednostkę objętości Korzystając z elementarnej elektrostatyki, otrzymujemy sferyczną inkluzję ze stałą dielektryczną $}$ promieniem ${\ displaystyle$ polaryzowalnością : $\ varepsilon _ {i}$

$${\ Displaystyle \ alfa = \ lewo ({\ Frac {\ varepsilon _ {i} -1} {\ varepsilon _ {i} + 2}} \ prawej) a^{3}}$$

Jeśli połączymy równanie Clausiusa Mosottiego , otrzymamy: ${\ displaystyle \ alpha}$

$${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ varepsilon _ {\ operatorname {eff}} -1} {\varepsilon _{\mathrm {eff}}+2}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2 }}\Prawidłowy)}$$

Gdzie $}}$ dielektryczną ośrodka, wtrąceń; ε ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ operatorname {eff}$${\ displaystyle \ delta _ {i}}$ to ułamek objętościowy inkluzji. Ponieważ model Maxwella Garnetta jest złożeniem ośrodka macierzowego z inkluzjami, wzmacniamy równanie:

$${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ varepsilon _ {\ operatorname {\ operatorname { eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff}}+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\ varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right)}$$

 

 

 

 

()

Ważność

$, że$ EMA Maxwella Garnetta będzie ważna przy ułamkach o małej objętości , ponieważ zakłada się, że domeny są przestrzennie oddzielone i oddziaływanie elektrostatyczne między wybranymi inkluzjami a sąsiednie inkluzje są pomijane. Formuła Maxwella Garnetta, w przeciwieństwie do formuły Bruggemana, przestaje być poprawna, gdy wtrącenia stają się rezonansowe. W przypadku rezonansu plazmonowego wzór Maxwella Garnetta jest poprawny tylko dla ułamka objętościowego wtrąceń ${\ Displaystyle \ delta _ {i}<10 ^ {-5}}$ . Zbadano możliwość zastosowania efektywnego przybliżenia ośrodka dla wielowarstw dielektrycznych i wielowarstw metal-dielektryk, wykazując, że istnieją pewne przypadki, w których przybliżenie efektywnego ośrodka nie jest spełnione i należy zachować ostrożność w stosowaniu tej teorii.

Formuła opisująca efekt wielkości

Zaproponowano nową formułę opisującą efekt wielkości. Ta formuła ma formę

$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ tekst {eff}} = {\ Frac {1} {4} }}\left(H_{\varepsilon }+i{\sqrt {-H_{\varepsilon}^{2}-8\varepsilon _{m}\varepsilon _{d}J(k_{m}a)}} \Prawidłowy),}$$

$${\ Displaystyle H _ {\ varepsilon} = (2-3c_ {m}) \ varepsilon _ { d}-(1-3c_{m})\varepsilon _{m}J(k_{m}a),}$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle J (x) = 2 {\ Frac {1-x \ łóżeczko (x)} {x ^{2}+x\łóżeczko(x)-1}},}$$

gdzie a jest promieniem nanocząstki, a ${\ Displaystyle k_ {m} = {\ sqrt {\ varepsilon _ {m} \ mu _ {m}}} \ omega / c} to$ fala numer. Przyjmuje się tutaj, że zależność pola elektromagnetycznego od czasu jest określona przez współczynnik $\mathrm {exp} (-i\omega t).$ W tym artykule zastosowano podejście Bruggemana, ale pole elektromagnetyczne dla trybu oscylacji dipolowej wewnątrz wybranej cząstki zostało obliczone bez zastosowania przybliżenia quasi-statycznego . $Zatem$ funkcja zebranej cząstki W regionie quasi-statycznym ( ${\ Displaystyle k_ {m} a \ ll 1}$ , tj. za Ag $} displaystyle )}$${\ Displaystyle a \ równoważnik \ operatorname {10 \ nm}}$$($ funkcja staje się stała, 5) staje się

Skuteczna formuła przepuszczalności

Wzór na efektywną przepuszczalność mieszanin ma postać

$${\ Displaystyle \ mu _ {\ tekst {eff}} = {\ Frac {1} {4} }}\left(H_{\mu }+i{\sqrt {-H_{\mu }^{2}-8\mu _{m}\mu _{d}J(k_{m}a)}} \Prawidłowy),}$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle H_ {\ mu} = (2-3c_ {m}) \ mu _ {d} - (1-3c_ {m}) \ mu _ {m} J (k_ {m} a).}$$

Tutaj ${\ Displaystyle \ mu _ {\ tekst {eff}}}$ jest efektywną względną złożoną przepuszczalnością mieszaniny, ${\ Displaystyle \ mu _ {d}}$ jest względną złożoną przepuszczalnością podłoża tła zawierającego małe sferyczne wtrącenia względnej przepuszczalności z ułamkiem objętościowym do $m} \ ll 1$$Displaystyle c_$ . Wzór ten wyprowadzono w przybliżeniu dipolowym. Pominięto tutaj tryb magnetycznej ośmiobiegunowości i wszystkie inne tryby oscylacji magnetycznych nieparzystych rzędów. Kiedy i $a \ ll 1}$${\ Displaystyle k_ {m}$ ta formuła ma prostą postać μ

$${\ Displaystyle \ mu _ {\ tekst {eff}} = \ mu _ {d} \ lewo (1 + {\ Frac {c_ {m}}} {10}} {\ frac {\ omega ^ {2}} c^{2}}}a^{2}\varepsilon _{m}\right).}$$

 

 

 

 

()

Teoria ośrodka efektywnego dla sieci rezystorowych

W przypadku sieci składającej się z dużej gęstości przypadkowych rezystorów dokładne rozwiązanie dla każdego pojedynczego elementu może być niepraktyczne lub niemożliwe. W takim przypadku losową sieć rezystorów można traktować jako dwuwymiarowy wykres , a efektywną rezystancję można modelować pod względem miar grafu i właściwości geometrycznych sieci. Zakładając, że długość krawędzi jest znacznie mniejsza niż odległość między elektrodami, a krawędzie są równomiernie rozłożone, można uznać, że potencjał spada równomiernie z jednej elektrody na drugą. Rezystancję arkusza takiej losowej sieci ( $można$ zapisać jako gęstość krawędzi (drutu $)$$)$ , $\ rho }$ ), szerokość ( $i$ grubość ( ) krawędzi (drutów) jako: ${\ displaystyle t}$

$${\ Displaystyle R_ {sn} \, = \, {\ Frac {\ pi} {2}} {\ Frac {\ rho} {w \, t \, {\ kwadrat {N_{E}}}}}}$$

 

 

 

 

()

Zobacz też

• Równanie konstytutywne
• Próg perkolacji

Dalsza lektura

•   Lakhtakia, A., wyd. (1996). Wybrane artykuły na temat liniowych optycznych materiałów kompozytowych [Milestone, tom. 120] . Bellingham, WA, USA: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4 .
•   Tuck, Choy (1999). Teoria efektywnego medium (wyd. 1). Oksford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851892-1 .
•   Lakhtakia (red.), A. (2000). Pola elektromagnetyczne w niekonwencjonalnych materiałach i konstrukcjach . Nowy Jork: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9 .
•   Weiglhofer (red.) ; Lakhtakia (red.), A. (2003). Wprowadzenie do złożonych ośrodków dla optyki i elektromagnetyki . Bellingham, WA, USA: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4 .
•   Mackay, TG ; Lakhtakia, A. (2010). Anizotropia elektromagnetyczna i bianizotropia: przewodnik terenowy (wyd. 1). Singapur: świat naukowy. ISBN 978-981-4289-61-0 .