Estymacja parametrów sygnału za pomocą technik niezmienności rotacyjnej

Przykład podziału na podtablice (2D ESPRIT).

W teorii estymacji estymacja parametrów sygnału za pomocą technik rotacyjnych niezmienników (ESPRIT) jest techniką wyznaczania parametrów mieszaniny sinusoid w szumie tła. Technika ta została po raz pierwszy zaproponowana do szacowania częstotliwości, jednak wraz z wprowadzeniem fazowych do technologii codziennego użytku jest również używana do szacowania kąta nadejścia .

Ogólny opis

Podział na wirtualne podtablice

Maksymalne nakładanie się dwóch podtablic ( N oznacza liczbę czujników w tablicy, m to liczba czujników w każdej podtablicy i ${\ Displaystyle J_ {1}}$ i ${\ Displaystyle J_ {2} }$ to macierze wyboru)

Definiowanie wektora sygnału jako,

${\ Displaystyle a (w_ {k}) = [1 \ quad e ^ {-jw_ {k}} \ quad e ^ {-j2w_ {k}} \ quad. ..\quad e^{-j(m-1)w_{k}}]^{T}}$

gdzie $liczby sinusoid,$ częstotliwość radialną $sinusoidy$${\ Displaystyle A = [a (w_ {1}) \ quad a (w_ {2}) \ quad ... \ quad a (w_ {K})]}$ można macierz Vandermonde'a dla $za$

Macierz można podzielić na dwa zestawy, ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle A_ {1} = [I_ {m-1} \ quad 0] A}$

I

${\ Displaystyle A_ {2} = [0 \ quad I_ {m-1}] A}$ gdzie ${\ Displaystyle I_ {m-1}}$ jest macierzą tożsamości wielkości ${\ Displaystyle (m-1) \ razy (m-1)}$ . Oczywiste jest, że zawiera pierwsze $Displaystyle$$\$$m-1}$ , podczas gdy ostatni $Displaystyle A_ {1}$ \ ${\ Displaystyle m-1}$ rzędy ZA $\ Displaystyle A}$ . Z tego mamy, że ${\ Displaystyle A_ {2} = A_ {1} H.}$ Tutaj ${\ displaystyle H}$ jest macierzą diagonalną, której elementy diagonalne można zapisać w wektorze ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {diag} (H) = [e ^ {-jw_ {1}} \ quad ... \ quad e ^ {-jw_ {K}}].}$

Innymi słowy, ukośne elementy H są złożonymi wykładniczymi z radialnymi częstotliwościami zbioru. $\ Displaystyle \ {w \} _ {k = 1} ^ {K}}$ { Tutaj jest jasne, że H stosuje obrót do macierzy ${\ displaystyle A_ {1}}$ . ESPRIT wykorzystuje podobne rotacje z macierzy kowariancji zmierzonych danych.

Estymacja podprzestrzeni sygnału

Aby zrozumieć sam algorytm, oznaczmy R jako macierz kowariancji zmierzonych danych. Obliczając rozkład wartości własnych R (za pomocą algorytmów, takich jak rozkład na wartości osobliwe ), można napisać, co następuje:

$E$ własne R w Tutaj, znajdując wartości własne, które są wyższe niż wariancja szumu, możemy oddzielić ortonormalne wektory własne od U, które odpowiadają tym wartościom własnym. $_$ zauważyć _

Podobnie jak poprzednio, możemy dokonać następującej separacji na S,

${\ Displaystyle S_ {1} = [I_ {m-1} \; 0] \; S}$ i ${\ Displaystyle S_ {2 }=[0\;I_{m-1}]\;S}$ .

Rozwiązanie równania niezmienności

Ponadto istnieje związek między S i A, taki jak $tematu$ macierzy F jest znana, ale nieistotna dla aktualnego Możemy wyprowadzić następujące zależności,

${\ Displaystyle S_ {2} = A_ {2} \; F \; = \; A_ {1} \; H \;F\;=\;S_{1}\;F^{-1}\;H\;F\;=\;S_{1}\;P} (gdzie$ wykorzystaliśmy ${\ Displaystyle S_ {1} \; = \; A_ {1} \; F}$ i ${\ Displaystyle A_ {1} \; = \; S_ {1} \; F ^ {-1}}$ ).

Oczywiste jest, że macierz P zawiera informacje o rotacji w odniesieniu do zawartości częstotliwości, tak że obrót na pierwszym zestawie ortonormalnych wektorów własnych ustępuje drugiemu zestawowi. Ponadto wartości własne P są równe elementom ukośnym H. Dlatego rozwiązując następujące równanie dla P,

${\ Displaystyle S_ {2} = S_ {1} P}$

możemy oszacować zawartość częstotliwości. Aby to osiągnąć, powyższe równanie można rozwiązać pseudoodwrotności (metodą najmniejszych kwadratów ).

Aby to zrobić, ${\ Displaystyle P = (S_ {1} ^ {*} S_ {1}) ^ {- 1} S_ {1} ^ { *}S_{2}}$ można zapisać.

Oszacowanie częstotliwości

Wreszcie, znajdując kąty wartości własnych P , można oszacować zbiór . ${\ Displaystyle \ {w \} _ {k = 1} ^ {K}}$ .

Przykład algorytmu

Poniżej podano pseudokod implementacji algorytmu ESPRIT.

 funkcja  esprit(  y  ,  kolejność_modeli  ,  liczba_źródeł  ):  m  = kolejność_modeli  n  = liczba_źródeł utwórz macierz kowariancji R na podstawie zaszumionych pomiarów y. Rozmiar R będzie wynosił (m na m).  oblicz svd R [U, E, V] = svd(R) uzyskaj ortonormalne wektory własne odpowiadające źródłom   S  = U(:, 1:n) podziel ortonormalne wektory własne na dwa S1 = S(1:m-1 , :) i S2 = S(2:m, :) oblicz P za pomocą LS (  operator ukośnika odwrotnego  MATLAB- a)   P  = S1\S2 znajdź kąty wartości własnych P  w  = kąt(eig(P)) / (2 *pi*elspacing) doa=asind(w) %zwróć kąt doa przyjmując arcsin w stopniach  return  'doa 

Zobacz też

• Niezależna analiza komponentów

Dalsza lektura

•    Paulraj, A.; Roy, R.; Kailath, T. (1985), „Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques - Esprit”, XIX Asilomar Conference on Circuits, Systems and Computers , s. 83–89, doi : 10.1109/ACSSC.1985.671426 , ISBN 978-0- 8186-0729-5 , S2CID 2293566 .
• Roy, R.; Kailath, T. (1989). „Esprit - szacowanie parametrów sygnału za pomocą technik niezmienności rotacyjnej” (PDF) . Transakcje IEEE dotyczące akustyki, mowy i przetwarzania sygnałów . 37 (7): 984–995. doi : 10.1109/29.32276 . .
•   Ibrahim AM; Marei, MI; Mekhamer, SF; Mansur, MM (2011). „Podejście ochrony oparte na sztucznej sieci neuronowej wykorzystujące całkowite oszacowanie parametrów sygnału metodą najmniejszych kwadratów za pomocą techniki niezmienności rotacyjnej dla kompensowanych linii przesyłowych elastycznego systemu przesyłowego prądu przemiennego”. Komponenty i systemy zasilania elektrycznego . 39 (1): 64–79. doi : 10.1080/15325008.2010.513363 . S2CID 109581436 .
• Haardt, M., Zoltowski, MD, Mathews, CP i Nossek, J. (1995, maj). Jednolity ESPRIT 2D do wydajnej estymacji parametrów 2D. W icassp (s. 2096-2099). IEEE.