Estymator Hodgesa

W statystyce estymator Hodgesa ( lub estymator Hodgesa-Le Cama ), nazwany na cześć Josepha Hodgesa , jest słynnym kontrprzykładem estymatora , który jest „superefektywny”, tj . Uzyskuje mniejszą wariancję asymptotyczną niż zwykłe estymatory wydajne . Istnienie takiego kontrprzykładu jest powodem wprowadzenia pojęcia estymatorów regularnych.

Estymator Hodgesa poprawia się w stosunku do zwykłego estymatora w jednym punkcie. Ogólnie rzecz biorąc, każdy superwydajny estymator może co najwyżej przewyższać zwykły estymator na zbiorze miary Lebesgue'a zero.

Budowa

Załóżmy $, że$${ \ displaystyle L _ {\ theta}}$ wspólnym” estymatorem dla pewnego parametru $:$ spójny i zbiega się do pewnego asymptotycznego $\ theta$ zwykle jest to rozkład normalny ze średnią zerową i wariancją, która może zależeć od ) na -rate: $}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {n}} ({\ kapelusz {\ teta}} _ {n} - \ teta) \ {\ xrightarrow {d}} \ L _ {\ teta} \.}$

Wtedy estymator Hodgesa jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {n} ^ {H}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ teta}} _ {n} ^ {H} = {\ rozpocząć {przypadki} {\ kapelusz {\ teta}} _ {n}, & {\ tekst {jeśli}} | {\ kapelusz {\theta }}_{n}|\geq n^{-1/4},{\text{i}}\\0,&{\text{if }}|{\kapelusz {\theta }} _{n}|<n^{-1/4}.\end{przypadki}}}$

$jest$ równy $\ Displaystyle [$ z wyjątkiem małego przedziału , gdzie jest równe zeru. Nietrudno zauważyć, że ten estymator jest spójny dla , a jego rozkład asymptotyczny to ${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & n ^ {\ alfa} ({\ kapelusz {\ teta}} _ {n} ^ {H} - \ teta) \ {\ xrightarrow {d}} \ 0, \ qquad { \text{kiedy}}\theta =0,\\&{\sqrt {n}}({\hat {\theta}}_{n}^{H}-\theta)\ {\xrightarrow {d}} \ L_{\theta},\quad {\text{kiedy}}\theta \neq 0,\end{wyrównane}}}$

dla dowolnego ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ . $hat {\ theta}} _ {n}} theta =0}$ ten estymator ma taki sam rozkład asymptotyczny jak wszystkich $\ neq 0}$${\ Displaystyle \ theta$ Displaystyle {\ tempo konwergencji staje się arbitralnie szybkie. Ten estymator jest superefektywny , ponieważ przewyższa asymptotyczne zachowanie estymatora efektywnego ${\ Displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {n}}$ przynajmniej w jednym punkcie ${\ displaystyle \ theta = 0}$ . Ogólnie rzecz biorąc, superefektywność można osiągnąć tylko na podzbiorze zerowej miary Lebesgue'a przestrzeni parametrów ${\ displaystyle \ Theta}$ .

Przykład

Średni błąd kwadratowy (razy n ) estymatora Hodgesa. Niebieska krzywa odpowiada n = 5 , fioletowa n = 50 , a oliwkowa n = 500 .

Załóżmy, że x ₁ , ..., x _n jest niezależną próbą losową o identycznym rozkładzie (IID) z rozkładu normalnego N ( θ , 1) z nieznaną średnią, ale znaną wariancją. Wtedy wspólny estymator średniej populacji θ jest średnią arytmetyczną wszystkich obserwacji: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bar {x}}}$ . Odpowiedni estymator Hodgesa będzie miał postać ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ kapelusz {\ teta}} _ {n} ^ {H} \; = \; {\ bar {x}} \ cdot \ mathbf {1} \$ , gdzie 1 {...} oznacza funkcję wskaźnika .

Średni błąd kwadratowy (przeskalowany przez n ) związany z estymatorem regularnym x jest stały i równy 1 dla wszystkich θ . Jednocześnie średniokwadratowy błąd estymatora Hodgesa $się nieregularnie w$ zera, a nawet nieograniczony jako n → ∞ . Pokazuje to, że estymator Hodgesa nie jest regularny, a jego właściwości asymptotyczne nie są odpowiednio opisane granicami postaci ( θ ustalone, n → ∞ ).

Zobacz też

• Estymator Jamesa-Steina

Notatki

Bibliografia

•   Bickel, Peter J.; Klaassen, Chris AJ; Ritov, Ya'acov; Wellner, Jon A. (1998). Efektywna i adaptacyjna estymacja modeli semiparametrycznych . Springer: Nowy Jork. ISBN 0-387-98473-9 .
• Jarmuż, BK (1985). „Uwaga na temat super wydajnego estymatora”. Dziennik planowania statystycznego i wnioskowania . 12 : 259–263. doi : 10.1016/0378-3758(85)90074-6 .
• Stoica, P.; Ottersten, B. (1996). „Zło nadefektywności”. Przetwarzanie sygnału . 55 : 133–136. doi : 10.1016/S0165-1684(96)00159-4 .
•   Vaart, AW van der (1998). Statystyki asymptotyczne . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-78450-4 .