Filtr przyczynowy

W przetwarzaniu sygnału filtr przyczynowy jest liniowym i niezmiennym w czasie systemem przyczynowym . Słowo przyczynowy wskazuje, że wynik filtra zależy tylko od przeszłych i obecnych danych wejściowych. Filtr , którego wynik zależy również od przyszłych danych wejściowych, jest filtrem nieprzyczynowym , podczas gdy filtr, którego wynik zależy tylko od przyszłych danych wejściowych, jest antyprzyczynowy . Systemy (w tym filtry), które są możliwe do zrealizowania (tj. działające w czasie rzeczywistym ) muszą być przyczynowe, ponieważ takie systemy nie mogą działać na przyszłych danych wejściowych. W efekcie oznacza to $,$ że próbka wyjściowa, która najlepiej reprezentuje dane wejściowe w czasie się nieco później. Powszechną praktyką projektowania filtrów cyfrowych jest tworzenie możliwego do zrealizowania filtra poprzez skrócenie i / lub przesunięcie w czasie nieprzyczynowej odpowiedzi impulsowej. Jeśli konieczne jest skrócenie, często jest ono realizowane jako iloczyn odpowiedzi impulsowej z funkcją okna .

Przykładem filtra antykauzalnego jest filtr fazy maksymalnej , który można zdefiniować jako stabilny , antykauzalny filtr, którego odwrotność jest również stabilna i antykauzalna.

Każdy składnik wyjścia filtra przyczynowego zaczyna się, gdy zaczyna się jego bodziec. Wyjścia filtra nieprzyczynowego rozpoczynają się przed rozpoczęciem bodźca.

Przykład

Poniższa definicja to ruchoma (lub „przesuwna”) średnia danych wejściowych ${\ Displaystyle s (x) \,}$ . Dla uproszczenia pominięto stały współczynnik 1/2:

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {x-1} ^ { x+1}s(\tau )\,d\tau \ =\int _{-1}^{+1}s(x+\tau )\,d\tau \,}$

gdzie x może reprezentować współrzędną przestrzenną, jak w przetwarzaniu obrazu. Ale jeśli reprezentuje czas $,$$\ Displaystyle (t) \,}$ to zdefiniowana w ten sposób średnia ruchoma nie jest przyczynowa (zwana także niemożliwą do zrealizowania ), ponieważ ${ \ displaystyle f (t) \,}$ zależy od przyszłych danych wejściowych, takich jak ${\ Displaystyle s (t + 1) \,}$ . Możliwy do zrealizowania wynik to

${\ Displaystyle f (t-1) = \ int _ {- 2} ^ {0 }s(t+\tau )\,d\tau =\int _{0}^{+2}s(t-\tau )\,d\tau \,}$

który jest opóźnioną wersją niemożliwych do zrealizowania danych wyjściowych.

Każdy filtr liniowy (taki jak średnia ruchoma) można scharakteryzować za pomocą funkcji h ( t ) zwanej odpowiedzią impulsową . Jego wynikiem jest splot

${\ Displaystyle f (t) = (h * s) (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) s (t- \ tau) \, d \ tau. \, }$

W tych warunkach przyczynowość wymaga

${\ Displaystyle f (t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} h (\ tau) s (t- \ tau) \,d\tau }$

a ogólna równość tych dwóch wyrażeń wymaga h ( t ) = 0 dla wszystkich t < 0.

Charakterystyka filtrów przyczynowych w dziedzinie częstotliwości

Niech h ( t ) będzie filtrem przyczynowym z odpowiednią transformatą Fouriera H (ω). Zdefiniuj funkcję

${\ Displaystyle g (t) = {h (t) + h ^ {*} (- t) \ ponad 2}}$

co nie jest przyczynowe. Z drugiej strony g ( t ) jest hermitowskie iw konsekwencji jego transformata Fouriera G ( ω ) ma wartość rzeczywistą. Mamy teraz następującą zależność

${\ Displaystyle h (t) = 2 \ \ Theta (t) \ cdot g (t) \,}$

gdzie Θ( t ) jest jednostkową funkcją kroku Heaviside'a .

Oznacza to, że transformaty Fouriera h ( t ) i g ( t ) są powiązane w następujący sposób

${\ Displaystyle H (\ omega) = \ lewo (\ delta (\ omega )-{i \over \pi \omega}\right)*G(\omega)=G(\omega)-i\cdot {\widehat {G}}(\omega)\,}$

gdzie $.$ transformacją Hilberta w dziedzinie częstotliwości (a nie w Znak $.$ zależeć

Biorąc transformatę Hilberta z powyższego równania, otrzymujemy tę zależność między „H” a jego transformatą Hilberta:

${\ Displaystyle {\ widehat {H}} (\ omega) = iH (\ omega)}$

•   Prasa, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (wrzesień 2007), Przepisy numeryczne (wyd. 3), Cambridge University Press, s. 767, numer ISBN 9780521880688
• Rowell (styczeń 2009), Określanie przyczynowości systemu na podstawie jego odpowiedzi częstotliwościowej (PDF) , MIT OpenCourseWare