Forma wewnętrzna

W matematyce $wewnętrzna$ forma grupy algebraicznej $jest$ polem $inną$ grupą algebraiczną taką $.$ istnieje między ${\ Displaystyle G}$ i ${\ Displaystyle H}$ zdefiniowane przez (oznacza to, że ${\ displaystyle H}$ jest ${\ Displaystyle {\ overline {K}}}$${\ Displaystyle K}$ -forma sol ${\ Displaystyle G}$ ) i dodatkowo dla każdego automorfizmu Galois $ϕ$${\ Displaystyle \ sigma \ in \ operatorname {Gal} ({\ Displaystyle K$$} \ circ \ phi ^ {\ sigma}}$ - jest wewnętrznym automorfizmem ${\ Displaystyle G ({\ overline {K}})}$ (tj. koniugacja przez element sol $\ Displaystyle G ({\ overline {K}})}$ .

$)$$Displaystyle H ^ {1} (\$ sol za l ( oznacza to, że jest powiązany z elementem $podzbioru$${\ Displaystyle H ^ {1} (\ operatorname {Gal} ({\ overline {K}} / K), \ operatorname {Inn} (G)}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {Inn} (G)}$ jest podgrupą wewnętrznych automorfizmów ${\ displaystyle G}$ .

Bycie wzajemnymi formami wewnętrznymi jest relacją równoważności na zbiorze - $danej$ grupy algebraicznej.

Forma, która nie jest wewnętrzna, nazywana jest formą zewnętrzną . W praktyce, aby sprawdzić, czy grupa jest formą wewnętrzną, czy zewnętrzną, patrzy się na działanie grupy Galois ${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {K}} / K )}$ na diagramie Dynkina ( $wywołanym$ przez jego działanie na $\ overline {K}})}$ , który zachowuje dowolny torus, a tym samym działa na korzenie). Dwie grupy są swoimi wewnętrznymi formami wtedy i tylko wtedy, gdy definiowane przez nie działania są takie same.

Na przykład, formy ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {3} (\ mathbb {R})}$$)$ same i grupy ${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (2,1)}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (3)}$ . Te ostatnie to formy zewnętrzne ${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {3} (\ mathbb {R})}$ i są swoimi wewnętrznymi formami.

•    Cycki, Jacques (1966), „Klasyfikacja algebraicznych grup półprostych”, w Borel, Armand ; Mostow, George D. (red.), Grupy algebraiczne i podgrupy nieciągłe (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 33–62, ISBN 978-0 -8218-1409-3 , MR 0224710