Formalnie gładka mapa

W geometrii algebraicznej i algebrze przemiennej homomorfizm pierścienia nazywany jest formalnie gładkim (z francuskiego : Formellement lisse ), jeśli spełnia następującą nieskończenie małą właściwość podnoszenia : fa : ${\ displaystyle f: A \ to$

Załóżmy, że B otrzymuje strukturę A -algebry za pomocą mapy f . Biorąc pod uwagę $do {\ Displaystyle N$ - algebrę , do i ideał , każdy homomorfizm A -algebry można podnieść do $C$ A - mapa algebry ${\ Displaystyle B \ do C}$ . Jeśli ponadto jakiekolwiek takie podnoszenie jest unikalne, to f jest formalnie étale .

Formalnie gładkie mapy zostały zdefiniowane przez Alexandra Grothendiecka w Éléments de géométrie algébrique IV.

W przypadku morfizmów skończenie przedstawionych gładkość formalna jest równoważna zwykłemu pojęciu gładkości.

Przykłady

Gładkie morfizmy

Wszystkie gładkie morfizmy $są$ równoważne lokalnie morfizmom skończonej prezentacji, Stąd formalna gładkość jest lekkim uogólnieniem gładkich morfizmów.

Nie przykład

Jedną z metod wykrywania formalnej gładkości schematu jest zastosowanie nieskończenie małego kryterium podnoszenia. Na przykład, używając morfizmu obcięcia ${\ Displaystyle k [\ varepsilon ] / (\ varepsilon ^ {3}) \ do k [\ varepsilon] /(\varepsilon ^{2})}$ nieskończenie małe kryterium podnoszenia można opisać za pomocą kwadratu przemiennego

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {matrix} X & \ leftarrow & {\ text {Spec}} \ lewo ({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{2})}}\right)\\\strzałka w dół &&\strzałka w dół \\S&\leftarrow &{\text{Spec}}\left({\ frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{3})}}\right)\end{macierz}}}$

gdzie ${\ Displaystyle X, S \ w Sch / S}$ . Na przykład, jeśli

${\ Displaystyle X = {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {k [x, y]} {(xy)}} \ prawej) }$ i ${\ Displaystyle Y = {\ tekst {Spec}} (k)}$

następnie rozważmy wektor styczny w początku ${\ Displaystyle (0,0) \ w X (k)}$ określonym przez morfizm pierścienia

${\ Displaystyle {\ Frac {k [x, y]} {(xy)}} \ do {\ Frac {k [\ varepsilon] }{(\varepsilon ^{2})}}}$

wysyłanie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & \ mapsto \ varepsilon \\ y & \ mapsto \ varepsilon \ koniec {wyrównane}}}$

Zauważ, że jest to prawidłowy morfizm pierścieni przemiennych, ponieważ ${\ displaystyle xy \ mapsto \ varepsilon ^ {2} = 0}$ Następnie, od zniesienia tego morfizmu do

${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {k [\ varepsilon]} {(\ varepsilon ^ {3})}} \ prawej) \do X}$

jest postaci

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & \ mapsto \ varepsilon + a \ varepsilon ^ {2} \\ y & \ mapsto \ varepsilon + b \ varepsilon ^ {2 }\end{wyrównane}}}$

i ${\ Displaystyle xy \ mapsto \ varepsilon ^ {2} + (a + b) \ varepsilon ^ {3} = \ varepsilon ^ {2}}$ , nie może istnieć nieskończenie mała winda, ponieważ jest różna od zera, stąd ${\ Displaystyle X \ w Sch / k}$ nie jest formalnie gładka. Dowodzi to również, że morfizm nie jest gładki z równoważności między morfizmami formalnie gładkimi lokalnie o skończonej prezentacji i morfizmami gładkimi.

Zobacz też

• Podwójny numer
• Gładki morfizm
• Teoria deformacji

Linki zewnętrzne

• Formalnie gładka z gładkimi włóknami, ale nie gładka https://mathoverflow.net/q/333596
• Formalnie gładka, ale nie gładka https://mathoverflow.net/q/195