Formuła Aleksiejewa-Gröbnera

Formuła Aleksiejewa-Gröbnera, czyli formuła nieliniowej wariacji stałych, jest uogólnieniem formuły liniowej wariacji stałych , która została niezależnie udowodniona przez Wolfganga Gröbnera w 1960 r. I Władimira Michajłowicza Aleksiejewa w 1961 r. Wyraża globalny błąd zaburzenia w względem błędu lokalnego i ma wiele zastosowań do badania zaburzeń równań różniczkowych zwyczajnych .

Sformułowanie

Niech $liczbą$$rzeczywistą$ , _ ${\ Displaystyle \ mu \ dwukropek [0, T] \ razy \ mathbb {R} ^ {d} \ do \ mathbb {R} ^{d}\in C^{0,1}([0,T]\times \mathbb {R} ^{d})} będzie funkcją ciągłą w przedziale$ czasu ${\ Displaystyle [0, T]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ różniczkowalna w sposób ciągły $R$ -wymiarowej przestrzeni . Niech ${\ Displaystyle X \ okrężnica [0, T] ^ {2} \ razy \ mathbb {R} ^ {d} \ do \ mathbb {R} ^ {d }}$ , ${\ Displaystyle (s, t, x) \ mapsto X_ {s, t} ^ {x}}$ być ciągłym rozwiązaniem równania całkowego

$${\ Displaystyle X_ {s, t} ^ {x} = x + \ int _ {s} ^ {t} \ mu (r, X_ {s, r} ^ {x}) dr.}$$

Ponadto niech ${\ Displaystyle Y \ w C ^ {1} ([0, T], \ mathbb {R} ^ {d})}$ będzie różniczkowalny w sposób ciągły. Postrzegamy jako funkcję niezakłóconą, $a$$.$ zaburzoną Wtedy to trzyma

$${\ Displaystyle X_ {0, T} ^ {Y_ {0}} - Y_ {T} = \ int _ {0} ^ {T} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe}} {\ częściowe x}} X_ { r,T}^{Y_{s}}\right)\left(\mu (r,Y_{r})-{\frac {d}{dr}}Y_{r}\right)dr.}$$

$($${\ Displaystyle (\ mu (r, Y_ {r}) - {\ tfrac {d} {dr}} Y_ {r})}$ Gröbnera pozwala wyrazić kategoriach .

Formuła Itô – Aleksiejewa – Gröbnera

Formuła Itô – Alekseev – Gröbner jest uogólnieniem formuły Alekseev – Gröbner, która stwierdza w przypadku deterministycznym, że dla funkcji różniczkowalnej w sposób ciągły fa ∈ do $w C ^ {1 }(\mathbb {R} ^{k},\mathbb {R} ^{d})}$ utrzymuje, że

$${\ Displaystyle f (X_ {0, T} ^ {Y_ {0}}) -f (Y_ {T}) = \ int _ {0} ^ {T} f '\ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\częściowe x}}X_{r,T}^{Y_{s}}\right){\frac {\częściowe}}{\częściowe x}}X_{s,T}^{Y_{s}}\left (\mu (r,Y_{r})-{\frac {d}{dr}}Y_{r}\right)dr.}$$