Fosa Gaussa
Czy na płaszczyźnie zespolonej można „chodzić do nieskończoności” w liczbach całkowitych Gaussa, używając liczb pierwszych Gaussa jako stopni przejściowych i wykonując kroki o ograniczonej długości?
W teorii liczb problem fosy Gaussa pyta, czy można znaleźć nieskończoną sekwencję różnych liczb pierwszych Gaussa , tak aby różnica między kolejnymi liczbami w sekwencji była ograniczona. Mówiąc bardziej barwnie, jeśli wyobrazimy sobie, że liczby pierwsze Gaussa są stopniami w morzu liczb zespolonych, pytanie brzmi, czy można przejść od początku do nieskończoności krokami o ograniczonej wielkości, bez zamoczenia. Problem został po raz pierwszy postawiony w 1962 roku przez Basila Gordona (chociaż czasami błędnie przypisywano go Paulowi Erdősowi ) i pozostaje nierozwiązany.
W przypadku zwykłych liczb pierwszych taki ciąg jest niemożliwy: z twierdzenia o liczbach pierwszych implikuje się, że w ciągu liczb pierwszych występują dowolnie duże luki , a ponadto istnieje elementarny dowód bezpośredni: dla dowolnego n , n - 1 kolejnych liczb n ! + 2, n ! + 3, ..., n ! + n są wszystkie złożone.
Problem znalezienia ścieżki między dwiema liczbami pierwszymi Gaussa, która minimalizuje maksymalny rozmiar przeskoku, jest przykładem problemu ścieżki minimaksu, a rozmiar przeskoku optymalnej ścieżki jest równy szerokości najszerszej fosy między dwiema liczbami pierwszymi, gdzie fosa można zdefiniować przez podział liczb pierwszych na dwa podzbiory, a jego szerokość to odległość między najbliższą parą, która ma jeden element w każdym podzbiorze. Zatem problem fosy Gaussa można sformułować w innej, ale równoważnej formie: czy istnieje skończona granica szerokości fos, które mają skończenie wiele liczb pierwszych po stronie początku?
Poszukiwania obliczeniowe wykazały, że początek jest oddzielony od nieskończoności fosą o szerokości 6. Wiadomo, że dla dowolnej liczby dodatniej k istnieją liczby pierwsze Gaussa, których najbliższy sąsiad znajduje się w odległości k lub większej. W rzeczywistości liczby te mogą być ograniczone do osi rzeczywistej. Na przykład liczba 20785207 jest otoczona fosą o szerokości 17. Zatem z pewnością istnieją fosy o dowolnie dużej szerokości, ale te fosy niekoniecznie oddzielają początek od nieskończoności.
Dalsza lektura
- Guy, Richard K. (2004), Nierozwiązane problemy w teorii liczb (wyd. 3), Springer-Verlag , s. 55–57, ISBN 978-0-387-20860-2 , Zbl 1058.11001