Funkcja Batemana

W matematyce funkcja Batemana (lub funkcja k ) jest szczególnym przypadkiem konfluentnej funkcji hipergeometrycznej badanej przez Harry'ego Batemana (1931). Bateman zdefiniował to przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle k_ {n} (x) = {\ Frac {2} {\ pi}} \ int _{0}^{\pi /2}\cos(x\tan \theta -n\theta )\,d\theta }$

Bateman odkrył tę funkcję, gdy Theodore von Kármán poprosił o rozwiązanie następującego równania różniczkowego, które pojawiło się w teorii turbulencji

${\ Displaystyle x {\ Frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} = (xn) u}$

a Bateman uznał tę funkcję za jedno z rozwiązań. Bateman oznaczył tę funkcję jako funkcję „k” na cześć Theodore'a von Kármána .

Nie należy tego mylić z inną funkcją o tej samej nazwie, która jest używana w farmakokinetyce.

Nieruchomości

• ${\ Displaystyle k_ {0} (x) = e ^ {- | x|}}$
• ${\ Displaystyle k_ {- n} (x) = k_ {n} (-x)}$
• ${\ Displaystyle k_ {n} (0) = {\ Frac {2} {n \ pi}} \ sin {\ Frac {n \ pi} {2}} }$
• ${\ Displaystyle k_ {2} (x) = (x + | x |) e ^ {- | x|}}$
• ${\ Displaystyle | k_ {n} (x) | \ równoważnik 1}$ dla rzeczywistych wartości ${\ Displaystyle n}$ i ${\ Displaystyle x}$
• ${\ Displaystyle k_ {2n} (x) = 0}$ dla ${\ Displaystyle x <0}$ jeśli ${\ Displaystyle n}$ jest dodatnią liczbą całkowitą
• ${\ Displaystyle k_ {1} (x) = {\ Frac {2x} {\ pi}} [K_ {1 } (x) + K_ {0} (x)], \ x <0}$ , gdzie ${\ Displaystyle K_ {n} (-x)}$ jest zmodyfikowaną funkcją Bessela drugiego rodzaju .