Funkcja Carathéodory

W analizie matematycznej funkcja Carathéodory'ego (lub całka Carathéodory'ego) jest funkcją wielu zmiennych, która pozwala nam skutecznie rozwiązać następujący problem: Złożenie dwóch mierzalnych funkcji Lebesgue'a nie musi być również mierzalne Lebesgue'a. Niemniej jednak złożenie mierzalnej funkcji z funkcją ciągłą jest rzeczywiście mierzalne według Lebesgue'a, ale w wielu sytuacjach ciągłość jest założeniem zbyt restrykcyjnym. Funkcje Carathéodory'ego są bardziej ogólne niż funkcje ciągłe, ale nadal pozwalają na zmierzenie kompozycji z mierzalną funkcją Lebesgue'a. Funkcje Carathéodory'ego odgrywają znaczącą rolę w rachunku wariacyjnym , a ich nazwa pochodzi od nazwiska greckiego matematyka Constantina Carathéodory'ego .

Definicja

$}$${\ Displaystyle W: \ Omega \ razy \ mathbb {R} ^ {N} \ strzałka w prawo \ mathbb {R} \ kubek \ lewo \ {+ \ infty \ prawo \$$}$ , dla Lebesgue'a, jest funkcją Carathéodory'ego,

1. Odwzorowanie $w$ mierzalne Lesbegue'a dla każdego $R} ^{N}}$$\ xi$ .

2. odwzorowanie $x \ in$$x$ każdego Omega

Główną zaletą funkcji Carathéodory jest następująca: Jeśli W $\ Displaystyle W: \ Omega \ razy \ mathbb {R} ^ {N} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle u: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {N}}$ jest mierzalne Lebesgue'a, a następnie kompozycja ${\ Displaystyle x \ mapsto W\left(x,u\left(x\right)\right)}$ jest mierzalne Lebesgue'a.

Przykład

Wiele problemów w rachunku wariacyjnym formułuje się w następujący sposób: znajdź minimalizator funkcjonału ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: W^{1,p}\left(\Omega ;\mathbb {R} ^{m}\right)\rightarrow \mathbb {R} \cup \left\{+\infty \right\}}$ gdzie ${\ Displaystyle W ^ {1, p} \ lewo (\ Omega; \ mathbb {R} ^ {m} \ prawej)}$ to przestrzeń Sobolewa , przestrzeń składająca się ze wszystkich funkcji ${\ Displaystyle u: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}},$ które są słabo różniczkowalne i że sama funkcja i wszystkie jej pochodne pierwszego rzędu są ${\ Displaystyle L^{p}\left(\Omega ;\mathbb {R} ^{m}\right)}$ ; i gdzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ lewo [u \ prawej] = \ int _ {\ Omega } W \ lewo (x, u \ lewo (x \ prawo), \ nabla u \ lewo (x \ prawo) \ prawo) dx}$ dla niektórych ${\ Displaystyle W :\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{d\times m}\rightarrow \mathbb {R} } , funkcja Carathéodory'ego$ . Fakt, że jest funkcją Carathéodory'ego, zapewnia nas, że $\ Displaystyle {\ mathcal {F}$$=$ .

p-wzrost

Jeśli ${\ Displaystyle W: \ Omega \ razy \ mathbb {R} ^ {m} \ razy \ mathbb {R} ^ {d \ razy m} \ strzałka w prawo \ mathbb {R} }$ to Carathéodory i spełnia $)}$${\ Displaystyle \ lewo | W \ lewo (x, v, A \ prawo) \ prawo | \ równoważnik C \ lewo (1 + \ lewo | v \ prawo) |^{p}+\left|$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: W ^ {1, p} \ lewo (\ Omega; \ mathbb {R} ^ {m} \ prawej) \ strzałka w prawo \ mathbb { R} }$$warunek$ dla pewnego (ten nazywa się „p-wzrostem”), a następnie gdzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ lewo [u \ prawej] = \ int _ { \Omega }W\left(x,u\left(x\right),\nabla u\left(x\right)\right)dx} jest skończona i ciągła$ w silnej topologii (tj. w normie) ${\ Displaystyle W ^ {1, p} \ lewo (\ Omega; \ mathbb {R} ^ {m} \ prawej)}$ .