Funkcja Weingartena

W matematyce funkcje Weingartena są funkcjami wymiernymi indeksowanymi przez podziały liczb całkowitych , których można użyć do obliczenia całek iloczynów współczynników macierzy po grupach klasycznych . Zostały one po raz pierwszy zbadane przez Weingartena (1978) , który odkrył ich asymptotyczne zachowanie, i nazwane przez Collinsa (2003) , który ocenił je wyraźnie dla grupy unitarnej .

Grupy unitarne

Funkcje Weingartena służą do obliczania całek po grupie unitarnej U _d iloczynów współczynników macierzy postaci

${\ Displaystyle \ int _ {U_ {d}} U_ {i_ { 1}j_{1}}\cdots U_{i_{q}j_{q}}U_{i_{1}^{\prime }j_{1}^{\prime }}^{*}\cdots U_{i_ {q}^{\prime}j_{q}^{\prime}}^{*}dU,}$

gdzie $złożoną$ koniugację. $ji} ^ {*} = (U ^ {\ sztylet}) _ {ij}}$ jot gdzie ${\ Displaystyle U ^ {\ sztylet} } jest$$q$ transpozycją , więc można zinterpretować powyższe wyrażenie jako odnoszące się ${\ Displaystyle i_ {1} j_ {1} \ ldots i_ {q} j_ {q} j'_ {1} i'_ {1} \ ldots j'_ { q} i'_ {q}}$ element macierzy ${\ Displaystyle U \ otimes \ cdots \ otimes U \ otimes U ^ {\ sztylet} \ otimes \ cdots \ otimes U ^ {\sztylet}}$ .

Ta całka jest równa

${\ Displaystyle \ suma _ {\ sigma, \ tau \ w S_ {q}} \ delta _ {i_ {1} i _ {\ sigma (1)} ^ {\ pierwsza}} \ cdots \ delta _ {i_ {q}i_{\sigma (q)}^{\prime}}\delta _{j_{1}j_{\tau (1)}^{\prime}}\cdots \delta _{j_{q}j_ {\tau (q)}^{\prime}}W\!g(\sigma \tau ^{-1},d)}$

gdzie Wg jest funkcją Weingartena określoną wzorem

${\ Displaystyle W \! G (\ sigma, d) = {\ Frac {1} {q! ^ {2}}} \sum _ {\lambda }{\frac {\chi ^{\lambda}(1)^{2}\chi ^{\lambda}(\sigma)}{s_{\lambda,d}(1)}} }$

gdzie suma obejmuje wszystkie partycje λ z q ( Collins 2003 ). Tutaj χ ^λ jest charakterem S _q odpowiadającym podziałowi λ, a s jest wielomianem Schura z λ, tak że s _{λ d} (1) jest wymiarem reprezentacji U _d odpowiadającym λ.

Funkcje Weingartena są funkcjami wymiernymi w d . Mogą mieć bieguny dla małych wartości d , które znoszą się w powyższym wzorze. Istnieje alternatywna nierównoważna definicja funkcji Weingartena, w której sumuje się tylko partycje z co najwyżej d częściami. To już nie jest wymierna funkcja d , ale jest skończona dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych d . Dwa rodzaje funkcji Weingartena pokrywają się dla d większych niż q i każda z nich może być użyta we wzorze na całkę.

Wartości funkcji Weingartena dla prostych permutacji

Kilka pierwszych funkcji Weingartena Wg (σ, d ) to

${\ Displaystyle \ Displaystyle W \! g (, d) = 1}$ (Trywialny przypadek, w którym q = 0)

${\ Displaystyle \ Displaystyle W \ !g(1,d)={\frac {1}{d}}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle W \! G (2, d) = {\ Frac {-1} {d (d ^ {2} -1)}}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle W \! G (1 ^ {2}, d) = {\ Frac {1} {d ^ {2} -1}}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle W \! G (3, d) = {\ Frac {2} {d (d ^ {2} -1) (d ^ {2} -4)}}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle W \! G (21, d) = {\ Frac {-1} {(d ^ {2} -1) (d ^{2}-4)}}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle W \! G (1 ^ {3}, d) = {\ Frac {d ^ {2} -2} {d (d ^ {2} -1) (d^{2}-4)}}}$

gdzie permutacje σ są oznaczone ich kształtami cykli.

Istnieją programy algebry komputerowej do tworzenia tych wyrażeń.

Wyrażenia jawne dla całek w pierwszych przypadkach

Wyraźne wyrażenia na całki wielomianów pierwszego i drugiego stopnia, otrzymane za pomocą powyższego wzoru, to:

$${\ Displaystyle \ int _ {U_ {d}} dUU_ {ij} {\ bar {U}} _ {k \ ell} = \ delta _ {ik} \ delta _ {j \ ell} \ operatorname {Wg} ( 1,d)={\frac {\delta _{ik}\delta _{j\ell}}{d}}.}$$

$${\ Displaystyle \ int _ {U_ {d}} dUU_ {ij} U_ {k \ ell} {\ bar {U}} _ {mn} {\ bar {U}} _ {pq} = (\ delta _ { im}\delta _{jn}\delta _{kp}\delta _{\ell q}+\delta _{ip}\delta _{jq}\delta _{km}\delta _{\ell n}) \operatorname {Wg} (1^{2},d)+(\delta _{im}\delta _{jq}\delta _{kp}\delta _{\ell n}+\delta _{ip}\ delta _{jn}\delta _{km}\delta _{\ell q})\operatorname {Wg} (2,d).}$$

Zachowanie asymptotyczne

Dla dużego d funkcja Weingartena Wg zachowuje się asymptotycznie

${\ Displaystyle W \! G (\ sigma, d) = d ^ {-n- |\ sigma |} \ prod _ {i} (-1) ^ {| C_ {i} | -1} c_ {| C_ {i}|-1}+O(d^{-n-|\sigma |-2})}$

gdzie permutacja σ jest iloczynem cykli o długościach Ci i c _n = (2 n )!/ n _! ( n + 1)! jest liczbą katalońską , a |σ| jest najmniejszą liczbą transpozycji, których iloczynem jest σ. Istnieje schematyczna metoda systematycznego obliczania całek po grupie unitarnej jako szereg potęgowy w 1/d .

Grupy ortogonalne i symplektyczne

Dla grup ortogonalnych i symplektycznych funkcje Weingartena oszacowali Collins i Śniady (2006) . Ich teoria jest podobna do przypadku grupy unitarnej. Są one sparametryzowane przez partycje w taki sposób, że wszystkie części mają równy rozmiar.

Linki zewnętrzne

•   Collins, Benoît (2003), „Momenty i kumulanty wielomianowych zmiennych losowych w grupach unitarnych, całka Itzyksona-Zubera i wolne prawdopodobieństwo”, International Mathematics Research Notices , 2003 (17): 953–982, arXiv : math-ph / 0205010 , doi : 10.1155/S107379280320917X , MR 1959915
•    Collins, Benoît; Śniady, Piotr (2006), "Integracja względem miary Haara na grupie unitarnej, ortogonalnej i symplektycznej", Communications in Mathematical Physics , 264 (3): 773–795, arXiv : math-ph/0402073 , Bibcode : 2006CMaPh. 264..773C , doi : 10.1007/s00220-006-1554-3 , MR 2217291 , S2CID 16122807
•   Weingarten, Don (1978), „Asymptotyczne zachowanie całek grupowych na granicy nieskończonego rzędu”, Journal of Mathematical Physics , 19 (5): 999–1001, Bibcode : 1978JMP....19..999W , doi : 10,1063 /1.523807 , MR 0471696