Funkcja gniewu

Wykres funkcji Anger J v(z) z n=2 na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i z kolorami utworzonymi za pomocą funkcji Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

W matematyce funkcja Anger , wprowadzona przez CT Anger ( 1855 ), jest funkcją zdefiniowaną jako

${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = {\ Frac {1} {\ pi} }\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }$

i jest ściśle powiązany z funkcjami Bessela .

Funkcja Webera (znana również jako funkcja Lommela -Webera ), wprowadzona przez HF Webera ( 1879 ), jest ściśle spokrewnioną funkcją zdefiniowaną przez

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = {\ Frac {1} {\ pi} }\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }$

i jest ściśle powiązany z funkcjami Bessela drugiego rodzaju.

Związek między funkcjami Webera i gniewu

Funkcje gniewu i Webera są powiązane przez

Wykres funkcji Webera E v(z) z n=2 na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i z kolorami utworzonymi za pomocą funkcji Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z),\\-\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{ \nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z),\end{wyrównane} }}$

więc w szczególności, jeśli v nie jest liczbą całkowitą, można je wyrazić jako wzajemne kombinacje liniowe. Jeśli ν jest liczbą całkowitą, to funkcje Angera J _ν są takie same jak funkcje Bessela J _ν , a funkcje Webera można wyrazić jako skończone kombinacje liniowe funkcji Struve'a .

Rozwinięcie szeregów potęgowych

Funkcja gniewu ma rozwinięcie szeregu potęgowego

${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ cos {\ Frac {\ pi \ nu} {2}} \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\ frac {\nu }{2}}+1\right)}}+\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {( -1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2} }\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.}$

Podczas gdy funkcja Webera ma rozwinięcie szeregu potęgowego

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ sin {\ Frac {\ pi \ nu} {2}} \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\ frac {\nu }{2}}+1\right)}}-\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {( -1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2} }\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.}$

Równania różniczkowe

Funkcje gniewu i Webera są rozwiązaniami niejednorodnych postaci równania Bessela

${\ Displaystyle z ^ {2} y ^ {\ pierwsza \ pierwsza} + zy ^ {\ pierwsza} + (z ^ {2 }-\nu ^{2})y=0.}$

Dokładniej, funkcje gniewu spełniają równanie

${\ Displaystyle z ^ {2} y ^ {\ pierwsza \ pierwsza} + zy ^{\prime}+(z^{2}-\nu ^{2})y={\frac {(z-\nu)\sin(\pi \nu)}{\pi}},}$

a funkcje Webera spełniają równanie

${\ Displaystyle z ^ {2} y ^ {\ pierwsza \ pierwsza} + zy ^ {\ pierwsza} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = - {\ Frac {z + \ nu + ( z-\nu )\cos(\pi \nu )}{\pi }}.}$

Relacje powtarzalności

Funkcja gniewu spełnia tę niejednorodną formę relacji powtarzalności

${\ Displaystyle Z \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {J} _ {\ nu + 1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - {\frac {2\sin \pi \nu }{\pi}}.}$

Podczas gdy funkcja Webera spełnia tę niejednorodną formę relacji powtarzalności

${\ Displaystyle z \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - {\frac {2(1-\cos \pi \nu )}{\pi}}.}$

Opóźnij równania różniczkowe

Funkcje gniewu i Webera spełniają te jednorodne formy równań różniczkowych opóźnienia

${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {J} _ {\ nu + 1} (z) = 2 {\ dfrac {\ częściowe }{\ częściowe z}} \ mathbf {J} _ {\ nu } (z),}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {E} _ {\ nu + 1} (z) = 2 {\ dfrac {\ częściowy} {\ częściowy z}} \ mathbf {E} _{\nu }(z).}$

Funkcje gniewu i Webera również spełniają te niejednorodne formy równań różniczkowych opóźnienia

${\ Displaystyle Z {\ dfrac {\ częściowy} {\ częściowy z}} \mathbf {J} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {J} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {J} _{\nu \mp 1}(z) \ pm {\ frac {\ sin \ pi \ nu }{\ pi}},}$

${\ Displaystyle z {\ dfrac {\ częściowy} {\ częściowy z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ pm z\mathbf {E} _ {\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {1-\cos \pi \nu}}.}$

•      Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 12” . Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria Matematyki Stosowanej. Tom. 55 (Dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginału z poprawkami (grudzień 1972); pierwsze wyd.). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Narodowe Biuro Standardów; Publikacje Dover. P. 498. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
• CT Gniew, Neueste Schr. D. Natura. D. Ges. I. Gdańsk, 5 (1855) s. 1–29
• Prudnikov, AP (2001) [1994], „Funkcja gniewu” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Prudnikov, AP (2001) [1994], „Funkcja Webera” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• GN Watson , „Traktat o teorii funkcji Bessela”, 1–2, Cambridge Univ. Prasa (1952)
• HF Weber, Zurich Vierteljahresschrift, 24 (1879) s. 33–76