Funkcja kowariancji Matérna

W statystyce kowariancja Matérna , zwana także jądrem Matérna , jest funkcją kowariancji używaną w statystyce przestrzennej , geostatystyce , uczeniu maszynowym , analizie obrazu i innych zastosowaniach wielowymiarowej analizy statystycznej w przestrzeniach metrycznych . Jej nazwa pochodzi od szwedzkiego statystyka leśnego Bertila Matérna . Określa kowariancję między dwoma pomiarami jako funkcję odległości między punktami, w których zostały wykonane. Ponieważ kowariancja zależy tylko od odległości między punktami, jest stacjonarna . Jeśli odległość jest odległością euklidesową , kowariancja Matérna jest również izotropowa .

Definicja

Kowariancja Matérna między pomiarami wykonanymi w dwóch punktach oddzielonych d jednostkami odległości jest wyrażona wzorem

${\ Displaystyle C_ {\ nu} (d) = \ sigma ^ {2} {\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}^{\nu }K_{\nu }{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )},}$

gdzie jest funkcją gamma $,$ jest zmodyfikowaną funkcją Bessela drugiego rodzaju, a ρ i ${\$$displaystyle \ nu}$ dodatnimi parametrami kowariancji Γ { .

Proces Gaussa z kowariancją Matérna jest ${\ Displaystyle \ lceil \ nu \ rceil -1}$ razy różniczkowalny w sensie średniokwadratowym.

Gęstość widmowa

$-wymiarową$ mocy procesu z kowariancją Matérna zdefiniowaną na ( n ) transformatą Fouriera funkcji kowariancji Matérna (patrz twierdzenie Wienera – Khinchina ). Wyraźnie jest to podane przez

${\ Displaystyle S (f) = \ sigma ^ {2} {\ Frac {2 ^ {n} \ pi ^ {n/2} \ Gamma (\ nu + {\ Frac {n} {2}}) (2 \nu )^{\nu }}{\Gamma (\nu )\rho ^{2\nu }}}\left({\frac {2\nu }{\rho ^{2}}}+4\pi ^{2}f^{2}\right)^{-\left(\nu +{\frac {n}{2}}\right)}.}$

Uproszczenie dla określonych wartości v

Uproszczenie dla ν pół liczby całkowitej

Kiedy ${\ Displaystyle \ nu = p + 1/2, \ p \ in \ mathbb {N} ^ {+}}$ , kowariancję Matérna można zapisać jako iloczyn wykładniczy i wielomian rzędu: ${\ displaystyle p}$ :

$${\ Displaystyle C_ {p + 1/2} (d) = \ sigma ^ {2} \ exp \ lewo (- {\ Frac {{\ sqrt {2p + 1}} d} {\rho }}\right){\frac {p!}{(2p)!}}\sum _{i=0}^{p}{\frac {(p+i)!}{i!(pi )!}}\left({\frac {2{\sqrt {2p+1}}d}{\rho}}\right)^{pi},}$$

co daje:

• dla $\ nu = 1/2 \ (p = 0)}$$\ Displaystyle C_ { 1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),}$ :
• dla ${\ Displaystyle \ nu = 3/2 \ (p = 1)}$ : $\ Displaystyle C_ {3/2} (d) = \ sigma ^ {2} \ lewo (1 + {\ Frac {{\ sqrt {3}} d} {\ rho}} \ prawej) \ exp \left(-{\frac {{\sqrt {3}}d}{\rho}}\right),}$
• dla $\ Displaystyle \ nu = 5/2 \ (p = 2)$${\ Displaystyle C_ {5/2} (d) = \ sigma ^ {2} \ lewo (1 + {\ Frac {{\ sqrt {5}} d} {\ rho}} + {\ Frac {5d ^ { 2}}{3\rho ^{2}}}\right)\exp \left(-{\frac {{\sqrt {5}}d}{\rho }}\right).}$ :

Przypadek Gaussa w granicy nieskończoności ν

Ponieważ kowariancja Matérna zbiega się do kwadratowej wykładniczej funkcji kowariancji ${\ Displaystyle \ nu \ rightarrow \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ nu \ rightarrow \ infty} C _ {\ nu} (d) = \ sigma ^ {2} \ exp \ lewo (- {\ Frac {d ^ {2}} {2 \ rho ^ {2}}}\prawo).}$

Szeregi Taylora w momentach zerowych i widmowych

Zachowanie dla $zero$ uzyskać za pomocą następującego szeregu Taylora (konieczne jest odniesienie, poniższy wzór prowadzi do $)$ :

$${\ Displaystyle C _ {\ nu} (d) = \ sigma ^ {2} \ lewo (1 + {\ Frac {\ nu} {2 (1- \ nu)}} \ lewo ({\ Frac {d} \rho }}\right)^{2}+{\frac {\nu ^{2}}{8(2-3\nu +\nu ^{2})}}\left({\frac {d} {\rho}}\right)^{4}+{\mathcal {O}}\left(d^{5}\right)\right).}$$

Po zdefiniowaniu z szeregu Taylora można wyprowadzić następujące momenty widmowe:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lambda _ {0} & = C _ {\ nu} (0) = \ sigma ^ {2}, \\ [8pt] \ lambda _ {2} & = - \ lewo. {\frac {\częściowy ^{2}C_{\nu}(d)}{\częściowy d^{2}}}\right|_{d=0}={\frac {\sigma ^{2}\ nu }{\rho ^{2}(\nu -1)}}.\end{wyrównane}}}$

Zobacz też

• Radialna funkcja bazowa