Funkcje testowe do optymalizacji

W matematyce stosowanej funkcje testowe , zwane sztucznymi krajobrazami , są przydatne do oceny właściwości algorytmów optymalizacyjnych, takich jak:

• Współczynnik konwergencji.
• Precyzja.
• Krzepkość.
• Ogólna wydajność.

Tutaj przedstawiono niektóre funkcje testowe, aby dać wyobrażenie o różnych sytuacjach, z jakimi muszą się mierzyć algorytmy optymalizacyjne podczas radzenia sobie z tego rodzaju problemami. W pierwszej części przedstawiono wybrane funkcje celu dla przypadków optymalizacji jednokryterialnej. W drugiej części podano funkcje testowe z odpowiadającymi im frontami Pareto dla wielokryterialnych problemów optymalizacji (MOP).

Przedstawione tutaj sztuczne krajobrazy dla problemów optymalizacji z jednym celem pochodzą z Bäck, Haupt et al. oraz z oprogramowania Rody Oldenhuis. Biorąc pod uwagę liczbę problemów (w sumie 55), tutaj przedstawiono tylko kilka.

Funkcje testowe użyte do oceny algorytmów dla MOP zostały zaczerpnięte z Deb, Binh i in. i Binha. Można pobrać oprogramowanie opracowane przez Deb, które realizuje procedurę NSGA-II z GA, lub program umieszczony w Internecie, który implementuje procedurę NSGA-II z ES.

Podano tylko ogólną postać równania, wykres funkcji celu, granice zmiennych obiektowych oraz współrzędne minimów globalnych.

Funkcje testowe dla optymalizacji jednokryterialnej

Nazwa	Działka	Formuła	Globalne minimum	Wyszukaj domenę
Funkcja Rastrigina		${\ Displaystyle f (\ mathbf {x}) = An + \ suma _ {i = 1} ^ {n}\left[x_{i}^{2}-A\cos(2\pi x_{i})\right]}$ ${\ Displaystyle {\ tekst {gdzie:}} A = 10}$	${\ Displaystyle f (0, \ kropki, 0) = 0}$	${\ Displaystyle -5,12 \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik 5,12}$
Funkcja Ackleya		${\ Displaystyle f (x, y) = -20 \ exp \ lewo [-0,2 {\ sqrt {0,5 \ lewo ( x^{2}+y^{2}\prawo)}}\prawo]}$ ${\ Displaystyle - \ exp \ lewo [0,5 \ lewo (\ cos 2 \ pi x + \ sałata 2 \ pi y \ prawo )\prawo]+e+20}$	${\ displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ Displaystyle -5 \ równoważnik x, y \ równoważnik 5}$
Funkcja kuli		${\ Displaystyle f ({\ pogrubiony symbol {x}}) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}$	${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) = f (0, \ kropki, 0) = 0}$	${\ Displaystyle - \ infty \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik \ infty}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik n}$
Funkcja Rosenbrocka		${\ Displaystyle f ({\ pogrubiony symbol {x}}) = \ suma _{i=1}^{n-1}\lewo[100\lewo(x_{i+1}-x_{i}^{2}\prawo)^{2}+\lewo(1-x_{i }\prawo)^{2}\prawo]}$	${\ Displaystyle {\ tekst {Min}} = {\ rozpocząć {przypadki} n = 2 & \ rightarrow \ quad f (1,1) = 0, \\ n = 3 & \ rightarrow \ quad f (1,1,1) =0,\\n>3&\rightarrow \quad f(\underbrace {1,\dots ,1} _{n{\text{ razy}}})=0\\\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle - \ infty \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik \ infty}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik n}$
Funkcja Beale'a		${\ Displaystyle f (x, y) = \ lewo (1,5-x + xy \ prawo) ^ { 2}+\lewo(2,25-x+xy^{2}\prawo)^{2}}$ ${\ Displaystyle + \ lewo (2,625-x + xy ^ {3} \ prawej) ^ {2}}$	${\ Displaystyle f (3,0,5) = 0}$	${\ Displaystyle -4,5 \ równoważnik x, y \ równoważnik 4,5}$
Funkcja Goldsteina – ceny		${\ Displaystyle f (x, y) = \left[1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{2}\right)\right]}$ ${\ Displaystyle \ lewo [30 + \ lewo (2x-3y \ prawo) ^{2}\lewo(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\prawo)\prawo]}$	${\ Displaystyle f (0, -1) = 3}$	${\ Displaystyle -2 \ równoważnik x, y \ równoważnik 2}$
Funkcja budki		${\ Displaystyle f (x, y) = \ lewo (x + 2y-7 \ prawo) ^ {2 }+\lewo(2x+y-5\prawo)^{2}}$	${\ displaystyle f (1,3) = 0}$	${\ Displaystyle -10 \ równoważnik x, y \ równoważnik 10}$
Funkcja Bukina N.6		${\ Displaystyle f (x, y) = 100 {\ sqrt {\ lewo | y-0,01x ^ {2} \ prawo |}} + 0,01 \ lewo | x + 10 \ prawo |. \ quad}$	${\ Displaystyle f (-10,1) = 0}$	${\ Displaystyle -15 \ równoważnik x \ równoważnik -5}$ , ${\ Displaystyle -3 \ równoważnik y \ równoważnik 3}$
Funkcja Matyasa		${\ Displaystyle f (x, y) = 0,26 \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawo) -0,48 xy }$	${\ displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ Displaystyle -10 \ równoważnik x, y \ równoważnik 10}$
Funkcja Léviego N.13		${\ Displaystyle f (x, y) = \ sin ^ {2} 3 \ pi x + \left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\right)}$ ${\ Displaystyle + \ lewo (y-1 \ prawo) ^ {2} \ lewo (1 + \ sin ^ {2} 2 \ pi y \ Prawidłowy)}$	${\ Displaystyle f (1,1) = 0}$	${\ Displaystyle -10 \ równoważnik x, y \ równoważnik 10}$
Funkcja Himmelblaua		${\ Displaystyle f (x, y) = (x ^ {2} + y-11) ^ {2} + (x + y ^ {2} -7) ^ {2}. \ quad}$	${\ Displaystyle {\ tekst {Min}} = {\ rozpocząć {przypadki} f \ lewo (3,0,2,0 \ prawo) & = 0,0 \\ f \ lewo (-2,805118, 3,131312 \ prawo) & = 0,0 \\ f \ left(-3.779310,-3.283186\right)&=0.0\\f\left(3.584428,-1.848126\right)&=0.0\\\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle -5 \ równoważnik x, y \ równoważnik 5}$
Funkcja wielbłąda z trzema garbami		${\ Displaystyle f (x, y) = 2x ^ {2} -1,05x ^ {4} + {\ Frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}}$	${\ displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ Displaystyle -5 \ równoważnik x, y \ równoważnik 5}$
Funkcja Easoma		${\ Displaystyle f (x, y) = - \ cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{2}+\left(y-\pi \right) )^{2}\prawo)\prawo)}$	${\ Displaystyle f (\ pi, \ pi) = - 1}$	${\ Displaystyle -100 \ równoważnik x, y \ równoważnik 100}$
Funkcja cross-in-tray		${\ Displaystyle f (x, y) = -0,0001 \ lewo [\ lewo | \ sin x \ sin y \ exp \ lewo (\ lewo | 100- {\ Frac {\ sqrt {x ^ {2} +y^{2}}}{\pi }}\prawo|\prawo)\prawo|+1\prawo]^{0.1}}$	${\ Displaystyle {\ tekst {Min}} = {\ rozpocząć {przypadki} f \ lewo (1,34941, -1,34941 \ prawo) & = -2,06261 \\ f \ lewo (1,34941,1,34941 \ prawo) & = -2,06261 \\ f\left(-1,34941,1,34941\right)&=-2,06261\\f\left(-1,34941,-1,34941\right)&=-2,06261\\\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle -10 \ równoważnik x, y \ równoważnik 10}$
Funkcja pojemnika na jajka		${\ Displaystyle f (x, y) = - \ lewo (y + 47 \ prawo) \ sin {\ sqrt {\ lewo | {\ Frac {x} {2}} + \ lewo (y + 47 \ prawo) \ prawo|}}-x\sin {\sqrt {\lewo|x-\lewo(y+47\prawo)\prawo|}}}$	${\ Displaystyle f (512 404,2319) = - 959,6407}$	${\ Displaystyle -512 \ równoważnik x, y \ równoważnik 512}$
Funkcja stołu Höldera		${\ Displaystyle f (x, y) = - \ lewo | \ sin x \ cos y \ exp \ lewo (\ lewo | 1- {\ Frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {\pi }}\prawo|\prawo)\prawo|}$	${\ Displaystyle {\ tekst {Min}} = {\ rozpocząć {przypadki} f \ lewo (8,05502, 9,66459 \ prawo) & = -19,2085 \\ f \ lewo (-8,05502, 9,66459 \ prawo) i = -19,2085 \\ f\left(8,05502,-9,66459\right)&=-19,2085\\f\left(-8,05502,-9,66459\right)&=-19,2085\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle -10 \ równoważnik x, y \ równoważnik 10}$
Funkcja McCormicka		${\ Displaystyle f (x, y) = \ sin \ lewo (x + y \ prawo) +\lewo(xy\prawo)^{2}-1,5x+2,5y+1}$	${\ Displaystyle f (-0,54719, -1,54719) = -1,9133}$	${\ Displaystyle -1,5 \ równoważnik x \ równoważnik 4}$ , ${\ Displaystyle -3 \ równoważnik y \ równoważnik 4}$
Funkcja Schaffera nr 2		${\ Displaystyle f (x, y) = 0,5 + {\ Frac { \sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0.5}{\left[1+0,001\left(x^{2}+y^{2}\right) \right]^{2}}}}$	${\ displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ Displaystyle -100 \ równoważnik x, y \ równoważnik 100}$
Funkcja Schaffera nr 4		${\ Displaystyle f (x, y) = 0.5+{\frac {\cos ^{2}\left[\sin \left(\left|x^{2}-y^{2}\right|\right)\right]-0.5}{\left[ 1+0,001\lewo(x^{2}+y^{2}\prawo)\prawo]^{2}}}}$	${\ Displaystyle {\ tekst {Min}} = {\ rozpocząć {przypadki} f \ lewo (0,1,25313 \ prawo) & = 0,292579 \\ f \ lewo (0, -1,25313 \ prawo) & = 0,292579 \\ f \ left(1,25313,0\right)&=0,292579\\f\left(-1,25313,0\right)&=0,292579\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle -100 \ równoważnik x, y \ równoważnik 100}$
Funkcja Styblińskiego-Tanga		${\ Displaystyle f ({\ pogrubiony symbol {x}}) = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{i}}{2}}}$	${\ Displaystyle -39,16617n <f (\ underbrace {-2,903534, \ ldots, -2,903534} _ {n {\ tekst {razy }}})<-39.16616n}$	${\ Displaystyle -5 \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik 5}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik n}$ ..

Funkcje testowe pod kątem optymalizacji z ograniczeniami

Nazwa	Działka	Formuła	Globalne minimum	Wyszukaj domenę
Funkcja Rosenbrocka ograniczona przez sześcienną i prostą		${\ Displaystyle f (x, y) = (1-x) ^ {2} + 100 (yx ^ {2}) ^{2}}$ , poddawany: ${\ Displaystyle (x-1) ^ {3} -y + 1 \ równoważnik 0 {\ tekst {i}} x + y -2\równik 0}$	${\ Displaystyle f (1,0, 1,0) = 0}$	${\ Displaystyle -1,5 \ równoważnik x \ równoważnik 1,5}$ , ${\ Displaystyle -0,5 \ równoważnik y \ równoważnik 2,5}$
Funkcja Rosenbrocka ograniczona do dysku		${\ Displaystyle f (x, y) = (1-x) ^ {2} + 100 (yx ^ {2}) ^{2}}$ , poddawany: ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ równoważnik 2}$	${\ Displaystyle f (1,0, 1,0) = 0}$	${\ Displaystyle -1,5 \ równoważnik x \ równoważnik 1,5}$ , ${\ Displaystyle -1,5 \ równoważnik y \ równoważnik 1,5}$
Funkcja ptaka Miśry - ograniczona		${\ Displaystyle f (x, y) = \ sin (y) e ^ {\ lewo [(1- \ cos x) ^ {2} \ prawo]} + \ cos (x) e ^ {\ lewo [(1 -\sin y)^{2}\right]}+(xy)^{2}}$ , poddawany: ${\ Displaystyle (x + 5) ^ {2} + (y + 5) ^ {2}<25}$	${\ Displaystyle f (-3,1302468, -1,5821422) = -106,7645367}$	${\ Displaystyle -10 \ równoważnik x \ równoważnik 0}$ , ${\ Displaystyle -6,5 \ równoważnik y \ równoważnik 0}$
Funkcja Townsenda (zmodyfikowana)		${\ Displaystyle f (x, y) = - [\ sałata ((x-0,1 )y)]^{2}-x\sin(3x+y)}$ , poddany: ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}< \ lewo [2 \ cos t - {\ Frac {1} {2}} \ cos 2 t - {\ frac {1} {4}} \ cos 3 t -{\frac {1}{8}}\cos 4t\right]^{2}+[2\sin t]^{2}}$ gdzie: t = Atan2(x,y)	${\ Displaystyle f (2,0052938, 1,1944509) = - 2,0239884}$	${\ Displaystyle -2,25 \ równoważnik x \ równoważnik 2,25}$ , ${\ Displaystyle -2,5 \ równoważnik y \ równoważnik 1,75}$
Funkcja Gomeza i Levy'ego (zmodyfikowana)		$-2,1x ^ { 4}+{\frac {1}{3}}x^{6}+xy-4y^{2}+4y^{4}}$ , poddany: ${\ Displaystyle - \ sin (4 \ pi x) + 2 \ sin ^ {2} (2 \ pi y) \ lek 1,5}$	${\ Displaystyle f (0,08984201, -0,7126564) = -1,031628453}$	${\ Displaystyle -1 \ równoważnik x \ równoważnik 0,75}$ , ${\ Displaystyle -1 \ równoważnik y \ równoważnik 1}$
Funkcja Simionescu		${\ Displaystyle f (x, y) = 0,1 xy}$ , poddawany: ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ równoważnik \ lewo [r_ {T} + r_{S}\cos \left(n\arctan {\frac {x}{y}}\right)\right]^{2}}$${\ Displaystyle {\ tekst {gdzie:}} r_ {T} = 1, r_ {S} = 0,2 {\ tekst {i}} n = 8}$	${\ Displaystyle f (\ pm 0,84852813, \ mp 0,84852813) = - 0,072}$	${\ Displaystyle -1,25 \ równoważnik x, y \ równoważnik 1,25}$

Funkcje testowe do optymalizacji wielokryterialnej

Nazwa	Działka	Funkcje	Ograniczenia	Wyszukaj domenę
Funkcja Binha i Korna:		${\ Displaystyle {\ tekst {minimalizuj}} = {\begin{przypadki}f_{1}\left(x,y\right)=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=\left( x-5\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}\\\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle {\ text {st}} = {\ rozpocząć {przypadki} g_ {1} \ lewo (x, y \ prawo) = \ lewo (x-5 \ prawo) ^ {2} + y ^ {2} \leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\ \\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x \ równoważnik 5}$ ≤ $\ Displaystyle 0 \ równoważnik y \ równoważnik 3}$
Funkcja Chankonga i Haimesa:		${\ Displaystyle {\ tekst {Minimalizuj}} = {\ zaczynaj {przypadki} f_ {1} \ lewo (x, y \ prawo) = 2 + \ lewo (x-2 \ prawo) ^ {2} + \ lewo ( y-1\right)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=9x-\left(y-1\right)^{2}\\\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle {\ tekst {st}} = {\ rozpocząć {przypadki} g_{1}\lewo(x,y\prawo)=x^{2}+y^{2}\równoważnik 225\\g_{2}\lewo(x,y\prawo)=x-3y+10\ leq 0\\\koniec {przypadków}}}$	${\ Displaystyle -20 \ równoważnik x, y \ równoważnik 20}$
Funkcja Fonseca-Fleminga:		${\ Displaystyle {\ tekst {Minimalizuj}} = {\ zaczynaj {przypadki} f_ {1} \ lewo ({\ pogrubiony symbol {x}} \ prawej) = 1- \ exp \ lewo [- \ suma _ {i =1}^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}\right]\\f_{2}\left({\ boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left[-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}} }\right)^{2}\right]\\\end{przypadki}}}$		${\ Displaystyle -4 \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik 4}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik ja \ równoważnik n}$
Funkcja testowa 4:		${\ Displaystyle {\ tekst {Minimalizuj}} = {\ rozpocząć {przypadki} f_ {1 }\left(x,y\right)=x^{2}-y\\f_{2}\left(x,y\right)=-0.5xy-1\\\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle {\ text {st}} = {\ rozpocząć {przypadki} g_ {1} \ lewo (x, y \ prawej) = 6,5- {\ Frac {x} {6}} -y \ geq 0 \\ g_{2}\left(x,y\right)=7,5-0,5xy\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)=30-5x-y\geq 0\\\end{ sprawy}}}$	${\ Displaystyle -7 \ równoważnik x, y \ równoważnik 4}$
Funkcja Kursawego:		${\ Displaystyle {\ tekst {Minimalizuj}} = {\ zaczynaj {przypadki} f_ {1} \ lewo ({\ pogrubiony symbol {x}} \ prawej) = \ suma _ {i = 1 }^{2}\lewo[-10\exp \left(-0.2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}}\prawo)\prawo]\\ &\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\suma _{i=1}^{3}\left[\left|x_{i}\right|^{0.8} +5\sin \left(x_{i}^{3}\right)\right]\\\end{przypadki}}}$		${\ Displaystyle -5 \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik 5}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik ja \ równoważnik 3}$ .
Funkcja Schaffera nr 1:		${\ Displaystyle {\ tekst {Minimalizuj}} = {\ rozpocząć {przypadki} f_ {1} \ lewo (x \ prawo )=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}\\\end{przypadki}}}$		${\ Displaystyle -A \ równoważnik x \ równoważnik A}$ . Wartości od $10}$$displaystyle$ do ${\ displaystyle 10 ^ {5}}$ pomyślnie użyte. $zwiększają$ wartości trudność problemu.
Funkcja Schaffera nr 2:		${\ Displaystyle {\ tekst {Minimalizuj}} = {\ rozpoczynaj {przypadki} f_ {1} \ lewo (x \ prawo) = {\ rozpoczynaj {przypadki} -x, & {\ tekst {jeśli} }x\równoważnik 1\\x-2,&{\text{jeśli }}1<x\równoważnik 3\\4-x,&{\text{jeśli }}3<x\równoważnik 4\\x-4 ,&{\text{if }}x>4\\\end{przypadki}}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-5\right)^{2}\\\ zakończyć {przypadki}}}$		${\ Displaystyle -5 \ równoważnik x \ równoważnik 10}$ .
Dwie funkcje celu Poloniego:		${\ Displaystyle {\ tekst {Minimalizuj}} = {\ {zaczynać przypadki} f_ {1} \ lewo (x, y \ prawo) = \ lewo [1 + \ lewo (A_ {1}-B_{1}\left(x,y\right)\right)^{2}+\left(A_{2}-B_{2}\left(x,y\right)\right)^ {2}\right]\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\ \\end{przypadki}}}$ ${\ Displaystyle {\ tekst {gdzie}} = {\ rozpocząć {przypadki} A_ {1} = 0,5 \ sin \ lewo (1 \ prawo) -2 \ cos \ lewo (1 \ prawo) + \ sin \ lewo (2 \right)-1.5\cos \left(2\right)\\A_{2}=1.5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left(2\ w prawo)-0,5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)=0,5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x\right) +\sin \left(y\right)-1.5\cos \left(y\right)\\B_{2}\left(x,y\right)=1.5\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0.5\cos \left(y\right)\end{przypadki}}}$		${\ Displaystyle - \ pi \ równoważnik x, y \ równoważnik \ pi}$
Funkcja Zitzlera – Deba – Thiele'a nr 1:		${\ Displaystyle {\ text {Minimalizuj}} = {\ rozpocząć {przypadki} f_ {1} \ lewo ({\ pogrubiony symbol {x}} \ prawo) = x_ {1} \\ f_ {2} \ lewo ({\ boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({ \boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^ {30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1 -{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\\\end{przypadki }}}$		${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik 1}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik 30}$ .
Funkcja Zitzlera – Deba – Thiele'a nr 2:		${\ Displaystyle {\ text {Minimalizuj}} = {\ rozpocząć {przypadki} f_ {1} \ lewo ({\ pogrubiony symbol {x}} \ prawo) = x_ {1} \\ f_ {2} \ lewo ({\ boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({ \boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^ {30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1 -\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2} \\\koniec {przypadków}}}$		${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik 1}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik 30}$ .
Funkcja Zitzlera – Deba – Thiele'a nr 3:		${\ Displaystyle {\ tekst {minimalizuj}} = {\ rozpocząć {przypadki} f_ {1} \ lewo ({\ pogrubiony symbol {x}} \ prawej) = x_ {1} \\ f_ {2} \ lewo ({\ boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({ \boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^ {30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1 -{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}-\left({\ frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)\sin \left(10\pi f_{ 1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{przypadki}}}$		${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik 1}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik 30}$ .
Funkcja Zitzlera – Deba – Thiele'a nr 4:		${\ Displaystyle {\ tekst {minimalizuj}} = {\ rozpocząć {przypadki} f_ {1} \ lewo ({\ pogrubiony symbol {x}} \ prawej) = x_ {1} \\ f_ {2} \ lewo ({\ boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({ \boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_{i} ^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\ left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\ boldsymbol {x}}\right)}}}\end{przypadki}}}$		${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x_ {1} \ równoważnik 1}$ , ${\ Displaystyle -5 \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik 5}$ , ${\ styl wyświetlania 2\równik i\równik 10}$
Funkcja Zitzlera – Deba – Thiele'a nr 6:		${\ Displaystyle {\ text {Minimalizuj}} = {\ rozpocząć {przypadki} f_ {1} \ lewo ({\ pogrubiony symbol {x}} \ prawej) = 1-\ exp \ lewo (-4x_ {1} \ prawo) \sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}} \right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\ boldsymbol {x}}\right)=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\right]^{0.25}\\h \left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-\left({\frac {f_{ 1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{przypadki}}}$		${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x_ {i} \ równoważnik 1}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik 10}$ .
Funkcja Osyczki i Kundu:		${\ Displaystyle {\ tekst {Minimalizuj}} = {\ rozpocząć {przypadki} f_ {1} \ lewo ({\ pogrubiony symbol {x}} \ prawej) = -25 \ lewo (x_{1}-2\prawa)^{2}-\lewa(x_{2}-2\prawa)^{2}-\lewa(x_{3}-1\prawa)^{2}-\ left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right)^{2}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right )=\suma _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle {\ tekst {st}} = {\ rozpocząć {przypadki} g_ {1} \ lewo ({\ pogrubiony symbol {x}} \ prawej) = x_ {1} + x_ {2} -2 \ geq 0 \ \g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x}}\ prawo)=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2-x_{1}+3x_{2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\geq 0\\g_ {6}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x_ {1}, x_ {2}, x_ {6} \ równoważnik 10}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik x_ {3}, x_ {5} \ równoważnik 5}$ , ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x_ {4} \ równoważnik 6}$ .
Funkcja CTP1 (2 zmienne):		${\ Displaystyle {\ tekst {minimalizuj}} = {\ rozpocząć {przypadki }f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle {\ tekst {st}} = {\ rozpocząć {przypadki} g_ {1} \ lewo (x, y \ prawo) = {\ Frac {f_ { 2}\left(x,y\right)}{0,858\exp \left(-0,541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{2}\left (x,y\right)={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0,728\exp \left(-0,295f_{1}\left(x,y\right)\right )}}\geq 1\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x, y \ równoważnik 1}$ .
Problem Constr-Ex:		${\ Displaystyle {\ tekst {minimalizuj}} = {\ rozpocząć {przypadki} f_ {1} \ lewo (x, y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {1+y}{x}}\\\end{przypadki}}}$	${\ Displaystyle {\ tekst {st}} = {\ rozpocząć {przypadki} g_ {1}\left(x,y\right)=y+9x\geq 6\\g_{2}\left(x,y\right)=-y+9x\geq 1\\\end{przypadki}} }$	${\ Displaystyle 0,1 \ równoważnik x \ równoważnik 1}$ , ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik y \ równoważnik 5}$
Funkcja Vienneta:		${\ Displaystyle {\ tekst {minimalizuj}} = {\ zaczynaj {przypadki} f_ {1} \ lewo (x, y \ prawo) = 0,5 \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawo) + \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {\left(3x-2y+4\right) ^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y\right) )={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1.1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\right)\ po prawej)\\\end{przypadki}}}$		${\ Displaystyle -3 \ równoważnik x, y \ równoważnik 3}$ .

Zobacz też

• Funkcja Ackleya
• Funkcja Himmelblaua
• Funkcja Rastrigina
• Funkcja Rosenbrocka
• Funkcja szekla
• Funkcja Binha