Funkcje teta Neville'a

W matematyce funkcje theta Neville'a , nazwane na cześć Erica Harolda Neville'a , są zdefiniowane w następujący sposób:

{\ Displaystyle \ theta _ {c} (z, m) = {\ Frac {{\ sqrt {2 \ pi}} \, q (m) ^ {1/4}} {m ^ { 1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\suma _{k=0}^{\infty}(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}

{\ Displaystyle \ teta _ {d} (z, m) = {\ Frac {\ sqrt {2 \ pi}} {2 {\ sqrt {K (m)}}} }\,\,\left(1+2\,\suma _{k=1}^{\infty}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\ pi zk}{K(m)}}\right)\right)}

{\ Displaystyle \ theta _ {n} (z, m) = {\ Frac {\ sqrt { 2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\suma _{k=1}^{ \infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right )}

{\ Displaystyle \ teta _ {s} (z, m) = {\ Frac {{\ sqrt {2 \ pi}} \, q (m) ^ {1/4}} { m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\suma _{k=0}^{\infty}(-1 )^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}

gdzie: K (m) jest całkowitą całką eliptyczną pierwszego rodzaju, ${\ Displaystyle K' (m) = K (1-m)}$ i ${\ Displaystyle q (m) = e ^ {- \ pi K' (m) / K (m)}}$ jest nomem eliptycznym.

Zauważ, że funkcje θ _p (z,m) są czasami definiowane w kategoriach nomu q(m) i zapisywane jako θ _p (z,q) (np. NIST). Funkcje można również zapisać w kategoriach parametru τ θ _p (z | τ) gdzie ${\ displaystyle q = e ^ {i \ pi \ tau}}$ .

Związek z innymi funkcjami

Funkcje theta Neville'a można wyrazić za pomocą funkcji theta Jacobiego

{\ Displaystyle \ teta _ {s} (z | \ tau) = \ teta _ {3}^{2}(0|\tau )\theta _{1}(z'|\tau )/\theta '_{1}(0|\tau )}

{\ Displaystyle \ teta _ {c} (z | \ tau) = \ teta _ {2} (z '| \ tau) / \ teta _ {2} (0 | \ tau )}

{\ Displaystyle \ teta _ {n} (z | \ tau) = \ teta _ {4} (z' |\tau )/\theta _{4}(0|\tau )}

{\ Displaystyle \ teta _ {d} (z | \ tau) = \ teta _ {3} (z '| \ tau) / \ teta _ {3}(0|\tau )}

gdzie ${\ Displaystyle z '= z / \ theta _ {3} ^ {2} (0 | \ tau)}$ .

Funkcje teta Neville'a są powiązane z funkcjami eliptycznymi Jacobiego . Jeśli pq(u,m) jest funkcją eliptyczną Jacobiego (p i q są jednymi z s,c,n,d), to