Funkcje theta Jacobiego (wariacje notacyjne)

Istnieje wiele systemów notacji dla funkcji theta Jacobiego . Oznaczenia podane w artykule w Wikipedii określają pierwotną funkcję

${\ Displaystyle \ vartheta _ {00} (z; \ tau) = \ suma _ {n =-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}$

co jest równoważne

${\ Displaystyle \ vartheta _ {00} (w, q) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q^{n^{2}}w^{2n}}$

gdzie $Displaystyle q = e ^ {\ pi ja \ tau}}$${\ Displaystyle w = e ^ {\ pi iz}}$ i .

Jednak podobna notacja jest zdefiniowana nieco inaczej w Whittaker i Watson , s. 487:

${\ Displaystyle \ vartheta _ {0,0} (x) = \ suma _ {n = - \ infty }^{\infty }q^{n^{2}}\exp(2\pi inx/a)}$

Ten zapis jest przypisywany „Hermite'owi, HJS Smithowi i kilku innym matematykom”. Określają również

${\ Displaystyle \ vartheta _ { 1,1}(x)=\suma _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}\exp(\ pi i(2n+1)x/a)}$

$.$ to współczynnik i poza definicją określoną w artykule w Te definicje mogą być co najmniej proporcjonalne przez x = za , ale inne definicje nie. Whittaker i Watson, Abramowitz i Stegun oraz Gradshteyn i Ryzhik podążają śladami Tannery'ego i Molka, w których

${\ Displaystyle \ vartheta _ {1} ( z)=-i\suma _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}\exp((2n+1) )iz)}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {2} (z) = \ suma _ {n = - \ infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\exp((2n+1)iz)}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {3} (z) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} \ exp (2niz)}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {4} (z) = \ suma _ {n = - \ infty} ^{\infty}(-1)^{n}q^{n^{2}}\exp(2niz)}$

Zauważ, że w argumencie nie ma czynnika π, jak w poprzednich definicjach.

Whittaker i Watson odwołują się do jeszcze innych definicji ${\ displaystyle \ vartheta _ {j}}$ . Ostrzeżenie w Abramowitzu i Stegunie: „Istnieje oszałamiająca różnorodność zapisów… w książkach konsultacyjnych należy zachować ostrożność” może być postrzegane jako niedopowiedzenie. W żadnym wyrażeniu nie należy zakładać, że wystąpienie ${\ Displaystyle \ vartheta (z)}$ ma jakąś określoną definicję. Na autorze spoczywa obowiązek określenia, jaką definicję ${\ Displaystyle \ vartheta (z)}$ przeznaczone.

•     Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 16.27ff.”. Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria Matematyki Stosowanej. Tom. 55 (Dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginału z poprawkami (grudzień 1972); pierwsze wyd.). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Narodowe Biuro Standardów; Publikacje Dover. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN   65-12253 .
•    Gradsztejn, Izrail Salomonowicz ; Ryżyk, Józef Moisejewicz ; Geronimus, Jurij Wieniaminowicz ; Tsejtlin, Michaił Juljewicz (1980). „8.18.”. W Jeffrey, Alan (red.). Tabela całek, szeregów i iloczynów . Przetłumaczone przez Scripta Technica, Inc. (czwarte poprawione i powiększone wydanie). Academic Press, Inc. ISBN 0-12-294760-6 . LCCN 79027143 .
• ET Whittaker i GN Watson , A Course in Modern Analysis , wydanie czwarte, Cambridge University Press, 1927. (Zobacz rozdział XXI, aby zapoznać się z historią funkcji θ Jacobiego)