Globalnie hiperboliczna rozmaitość

W fizyce matematycznej globalna hiperboliczność jest pewnym warunkiem struktury przyczynowej rozmaitości czasoprzestrzennej ( czyli rozmaitości Lorentza ) . Nazywa się to hiperbolicznym, ponieważ podstawowym warunkiem, który generuje rozmaitość Lorentza, jest

• ${\ Displaystyle t ^ {2} -r ^ {2} = T ^ {2}}$

(t i r to zwykłe zmienne czasu i promienia), które jest jednym ze zwykłych równań przedstawiających hiperbolę . Ale to wyrażenie jest prawdziwe tylko w odniesieniu do zwykłego pochodzenia; w tym artykule następnie nakreślono podstawy uogólnienia tej koncepcji na dowolną parę punktów w czasoprzestrzeni. Ma to związek z ogólną teorią względności Alberta Einsteina i potencjalnie z innymi metrycznymi teoriami grawitacji.

Definicje

Istnieje kilka równoważnych definicji globalnej hiperboliczności. Niech M będzie gładko spójną rozmaitością lorentzowską bez brzegów. Dokonujemy następujących wstępnych definicji:

• M nie jest całkowicie błędne, jeśli istnieje co najmniej jeden punkt taki, że nie przechodzi przez niego żadna zamknięta krzywa podobna do czasu.
• M jest przyczynowe , jeśli nie ma zamkniętych krzywych przyczynowych.
• M jest niecałkowicie uwięziona , jeśli w zbiorze zwartym nie ma żadnej nierozciągliwej krzywej przyczynowej. Ta właściwość implikuje przyczynowość.
• M jest silnie przyczynowe, jeśli dla każdego punktu p i dowolnego sąsiedztwa U z p istnieje przyczynowo wypukłe sąsiedztwo V z p zawarte w U , gdzie wypukłość przyczynowa oznacza, że ​​​​każda krzywa przyczynowa z punktami końcowymi w V jest całkowicie zawarta w V . Właściwość ta implikuje niecałkowite pozbawienie wolności.
• Biorąc pod uwagę dowolny punkt p w M , ${\ Displaystyle J ^ {+} (p)}$ [odp. ${\ Displaystyle J ^ {-} (p)}$ ] to zbiór punktów, do których można dotrzeć przez skierowany w przyszłość [odp. skierowana w przeszłość] ciągła krzywa przyczynowa rozpoczynająca się od p .
• Mając podzbiór S z M , dziedziną zależności S jest zbiór wszystkich punktów p w M takich , że każda nierozciągliwa krzywa przyczynowa przechodząca przez p przecina S .
• Podzbiór S z M jest achronalny , jeśli żadna krzywa podobna do czasu nie przecina S więcej niż raz.
• Powierzchnia Cauchy'ego dla M jest zamkniętym zbiorem achronalnym, którego dziedziną zależności jest M .

Następujące warunki są równoważne:

1. Czasoprzestrzeń jest przyczynowa i dla każdej pary punktów ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}$ i q w M , przestrzeń ciągłych krzywych przyczynowych skierowanych w przyszłość od p do q jest zwarta w . do topologia.
2. Czasoprzestrzeń ma powierzchnię Cauchy'ego.
3. Czasoprzestrzeń jest przyczynowa i dla każdej pary punktów p i q w M podzbiór ${\ Displaystyle J ^ {-} (p) \ czapka J ^ {+} (q )}$ jest zwarty.
4. Czasoprzestrzeń nie jest całkowicie uwięziona i dla każdej pary punktów p i q w M podzbiór ${\ Displaystyle {J ^ {-} (p) \ czapka J ^ { +}(q)}}$ jest zawarte w zbiorze zwartym (czyli jego domknięcie jest zwarte).

Jeśli którykolwiek z tych warunków jest spełniony, mówimy, że M jest globalnie hiperboliczne . Jeśli M jest gładko połączoną rozmaitością lorentzowską z brzegiem, mówimy, że jest ona globalnie hiperboliczna, jeśli jej wnętrze jest globalnie hiperboliczne.

re ${\ Displaystyle d (p, q): = \ sup _ {\ gamma} l (\$$)$ obejmuje wszystkie krzywe przyczynowe łączące punkty (zgodnie z konwencją d = 0, jeśli nie ma takiej krzywej Oni są

• Silnie przyczynowa czasoprzestrzeń, dla której $skończona$ .
• Niecałkowita uwięziona czasoprzestrzeń taka, że $​​​​jest ciągła dla$ wyboru metryki w konforemnej klasie oryginalnej metryki.

Uwagi

Globalna hiperboliczność, w pierwszej postaci podanej powyżej, została wprowadzona przez Leraya w celu rozważenia dobrze postawionego problemu Cauchy'ego dla równania falowego na rozmaitości. W 1970 roku Geroch udowodnił równoważność definicji 1 i 2. Definicja 3 przy założeniu silnej przyczynowości i jej równoważność z dwoma pierwszymi została podana przez Hawkinga i Ellisa.

Jak wspomniano, w starszej literaturze warunek przyczynowości w pierwszej i trzeciej definicji globalnej hiperboliczności podanej powyżej jest zastępowany silniejszym warunkiem silnej przyczynowości . W 2007 roku Bernal i Sánchez wykazali, że warunek silnej przyczynowości można zastąpić przyczynowością. W szczególności każda globalnie hiperboliczna rozmaitość zdefiniowana w punkcie 3 jest silnie przyczynowa. Później Hounnonkpe i Minguzzi udowodnili, że dla całkiem rozsądnych czasoprzestrzeni, a dokładniej tych o wymiarze większym niż trzy, które nie są zwarte lub niecałkowicie błędne, warunek „przyczynowy” można usunąć z definicji 3.

$_$ zamknięcie _ ${\ Displaystyle J ^ {\ pm} (p)}$ implikuje przyczynową prostotę , poziom przyczynowej hierarchii czasoprzestrzeni, który pozostaje tuż poniżej globalnej hiperboliczności). Można temu zaradzić, wzmacniając warunek przyczynowości, jak w definicji 4 zaproponowanej przez Minguzziego w 2009 r. Ta wersja wyjaśnia, że ​​​​globalna hiperboliczność ustanawia warunek zgodności między relacją przyczynową a pojęciem zwartości: każdy diament przyczynowy jest zawarty w zwartym zbiorze a każda nierozciągliwa krzywa przyczynowa wymyka się zbiorom zwartym. Należy zauważyć, że im większa rodzina zbiorów zwartych, tym łatwiej jest, aby diamenty przyczynowe zawierały się w pewnym zbiorze zwartym, ale tym trudniej krzywym przyczynowym uciec ze zbiorów zwartych. W ten sposób globalna hiperboliczność równoważy obfitość zbiorów zwartych w stosunku do struktury przyczynowej. Ponieważ drobniejsze topologie mają mniej zwartych zbiorów, możemy również powiedzieć, że równowaga zależy od liczby otwartych zbiorów, biorąc pod uwagę związek przyczynowy. Definicja 4 jest również odporna na zakłócenia metryki (co w zasadzie mogłoby wprowadzić zamknięte krzywe przyczynowe). W rzeczywistości przy użyciu tej wersji wykazano, że globalna hiperboliczność jest stabilna przy perturbacjach metrycznych.

W 2003 roku Bernal i Sánchez wykazali, że każda globalnie hiperboliczna rozmaitość M ma gładką osadzoną trójwymiarową powierzchnię Cauchy'ego, a ponadto że dowolne dwie powierzchnie Cauchy'ego dla M są dyfeomorficzne. W szczególności M jest dyfeomorficzne z iloczynem powierzchni Cauchy'ego z ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ . Wcześniej dobrze wiadomo było, że każda powierzchnia Cauchy'ego globalnie hiperbolicznej rozmaitości jest osadzonym trójwymiarowym do $^ {0}}$ podrozmaitość, z których dowolne dwie są homeomorficzne i takie, że rozmaitość rozdziela się topologicznie jako iloczyn powierzchni Cauchy'ego i ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ . W szczególności globalnie hiperboliczna rozmaitość jest foliowana przez powierzchnie Cauchy'ego.

Biorąc pod uwagę sformułowanie wartości początkowej dla równań Einsteina, globalna hiperboliczność jest postrzegana jako bardzo naturalny stan w kontekście ogólnej teorii względności, w tym sensie, że przy dowolnych danych początkowych istnieje unikalne maksymalne globalnie hiperboliczne rozwiązanie równań Einsteina.

Zobacz też

• Warunki przyczynowości
• Struktura przyczynowa
• Lekki stożek

•   Hawkinga, Stephena; Ellis, GFR (1973). Wielkoskalowa struktura czasoprzestrzeni . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09906-4 .
•   Wald, Robert M. (1984). ogólna teoria względności . Chicago: The University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2 .