Grubość i kształt termicznej warstwy granicznej

Schematyczny rysunek przedstawiający przepływ płynu przez ogrzewaną płaską płytkę.

Na tej stronie opisano niektóre parametry używane do scharakteryzowania właściwości termicznej warstwy granicznej utworzonej przez ogrzany (lub schłodzony) płyn poruszający się wzdłuż ogrzanej (lub ochłodzonej) ściany. Pod wieloma względami opis termicznej warstwy granicznej odpowiada warstwy granicznej prędkości (pędu), który po raz pierwszy sformułował Ludwig Prandtl . Rozważmy płyn o jednolitej temperaturze $\$ uderzający $displaystyle T_ {o}}$ nieruchomą płytę równomiernie podgrzaną do temperatury ${\ Displaystyle T_ {s}}$ . Załóżmy, że przepływ i płyta są na wpół nieskończone w dodatnim / ujemnym kierunku prostopadłym do ${\ displaystyle xy}$ . Gdy płyn przepływa wzdłuż ściany, płyn na powierzchni ściany spełnia warunek brzegowy braku poślizgu i ma zerową prędkość, ale gdy odsuwasz się od ściany, prędkość przepływu asymptotycznie zbliża się do prędkości swobodnego strumienia ${\ displaystyle u_{0}}$ . Temperatura przy litej ścianie wynosi ${\ displaystyle T_ {s}}$ i stopniowo zmienia się w $miarę$ w kierunku swobodnego strumienia płynu. Niemożliwe jest zdefiniowanie ostrego punktu, w którym płyn termicznej warstwy granicznej lub płyn warstwy granicznej prędkości staje się swobodnym strumieniem, jednak warstwy te mają dobrze określoną charakterystyczną grubość określoną przez δ T {\ Displaystyle \ delta _ { $}$ i ${\ Displaystyle \ delta _ {v}}$ . Poniższe parametry stanowią użyteczną definicję tej charakterystycznej, mierzalnej grubości termicznej warstwy przyściennej. W tym opisie warstwy przyściennej uwzględniono również niektóre parametry przydatne w opisie kształtu termicznej warstwy przyściennej.

99% grubości termicznej warstwy granicznej

termicznej warstwy granicznej $,$ to odległość w poprzek warstwy granicznej od ściany do punktu, w którym temperatura przepływu zasadniczo osiągnęła temperaturę „strumienia swobodnego”, $displaystyle T_{0}}$ . Ta odległość jest zdefiniowana prostopadle do ściany w ${\ displaystyle y}$ . Grubość $zwykle$ definiowana jako punkt w warstwie granicznej, gdzie temperatura ${\ Displaystyle T (x, y)}$ osiąga 99% wartości darmowego strumienia ${\ Displaystyle T_ {0}}$ :

${\ Displaystyle \ delta _ {T} = y_ {99}}$ takie, że ${\ Displaystyle T (x, y_ {99})}$ = 0,99 ${\ Displaystyle T_ { 0}}$

$wzdłuż$ miejscu ściany. W rzeczywistym płynie $ilość$ tę można oszacować, mierząc profil temperatury w miejscu ściany. Profil $to$$pozycji$ jako funkcja w ustalonej .

W przypadku przepływu laminarnego nad płaską płytą przy zerowym padaniu grubość termicznej warstwy granicznej jest określona wzorem:

$\ operatorname {Pr} ^ {-1/3}}$

${\ Displaystyle \ delta _ {T} = 5,0 {\ sqrt {{\ nu x} \ nad u_ {0}}} \ operatorname {Pr} ^ {-1/3}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ operatorname {Pr}}$ to liczba Prandtla

${\ Displaystyle \ delta _ {v}}$ to grubość warstwy granicznej prędkości, grubość

$strumienia$ prędkość swobodnego

${\ displaystyle x}$ to odległość w dół od początku warstwy granicznej

to lepkość kinematyczna ${\ displaystyle \ nu}$

W przypadku przepływu turbulentnego nad płaską płytą grubość utworzonej termicznej warstwy granicznej nie jest określana przez dyfuzję termiczną, lecz przypadkowe fluktuacje w zewnętrznym obszarze granicznej warstwy płynu są siłą napędową determinującą termiczną grubość warstwy granicznej. Zatem grubość termicznej warstwy granicznej dla przepływu turbulentnego nie zależy od liczby Prandtla , lecz od liczby Reynoldsa . W związku z tym grubość turbulentnej termicznej warstwy granicznej jest określona w przybliżeniu przez wyrażenie grubości warstwy granicznej prędkości turbulentnej określone przez:

${\ Displaystyle \ delta _ {T} \ około \ delta \ około 0,37x / {\ operatorname {Re} _ {x}} ^ {1/5}}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ operatorname {Re} _ {x}} = u_ {0} x / \ nu}$ to liczba Reynoldsa

Ten wzór na grubość turbulentnej warstwy przyściennej zakłada, że ​​1) przepływ jest turbulentny od samego początku warstwy przyściennej i 2) turbulentna warstwa przyścienna zachowuje się w geometrycznie podobny sposób (tzn. profile prędkości są geometrycznie podobne wzdłuż przepływu w kierunku x , różniąc ${\ Displaystyle u (x, y)$ tylko czynnikami rozciągającymi w i $)$ } Żadne z tych założeń nie jest prawdziwe dla ogólnego przypadku turbulentnej warstwy granicznej, dlatego należy zachować ostrożność przy stosowaniu tego wzoru.

Grubość przemieszczenia termicznego

Grubość przemieszczenia termicznego $można$ traktować w kategoriach różnicy między płynem rzeczywistym a płynem hipotetycznym z wyłączoną dyfuzją termiczną, ale z prędkością { $u_ {0} }$ i temperatura ${\ Displaystyle T_ {0}}$ . Bez dyfuzji termicznej spadek temperatury jest gwałtowny. Grubość przemieszczenia termicznego to odległość, o jaką hipotetyczna powierzchnia płynu musiałaby zostać przesunięta w y $\ displaystyle y}$ -kierunek, aby uzyskać taką samą zintegrowaną temperaturę, jaka występuje między ścianą a płaszczyzną odniesienia $płynie$ . Jest to bezpośredni analog do grubości przesunięcia prędkości, która jest często opisywana w kategoriach równoważnego przesunięcia hipotetycznego nielepkiego płynu (patrz Schlichting dla grubości przesunięcia prędkości).

Definicja grubości przemieszczenia termicznego dla przepływu nieściśliwego opiera się na całce temperatury zredukowanej:

${\ Displaystyle {\ beta ^ {*}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ teta (x, y) \, \ operatorname {d } tak}}$

gdzie bezwymiarowa temperatura wynosi ${\ Displaystyle \ theta (x, y) = (T (x, y) -T_ { 0})/(T_{s}-T_{0})}$ . W tunelu aerodynamicznym profile prędkości i temperatury uzyskuje się, mierząc prędkość i temperaturę przy wielu dyskretnych wartościach przy ustalonym ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$ -pozycja. Grubość przemieszczenia termicznego można następnie oszacować, całkując numerycznie wyskalowany profil temperatury.

Metoda momentu

Stosunkowo nowa metoda opisu grubości i kształtu termicznej warstwy granicznej wykorzystuje metodę momentu powszechnie stosowaną do opisu rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej . Metoda momentów została opracowana na podstawie obserwacji, że wykres drugiej pochodnej profilu termicznego dla przepływu laminarnego nad płytą wygląda bardzo podobnie do krzywej rozkładu Gaussa . Łatwo jest rzucić odpowiednio wyskalowany profil termiczny na odpowiednie integralne jądro.

Momenty środkowe profilu termicznego definiuje się jako:

${\ Displaystyle {\ xi _ {n}} = {1 \ ponad \ beta ^ {*}} \ int _ { 0}^{\infty}{(y-m_{T})^{n}\theta (x,y)\mathrm {d} y}}$

gdzie średnia lokalizacja jest określona wzorem: ${\ displaystyle m_ {T}}$

${\ Displaystyle m_ {T} = {1 \ ponad \ beta ^ {*}} \ int _ {0} ^ {\ infty} } {y \ theta (x,y)\mathrm {d} y}}$

Istnieją pewne zalety uwzględnienia również opisów momentów pochodnych profilu warstwy przyściennej w odniesieniu do wysokości nad ścianą. Rozważ momenty środkowe profilu temperaturowego pierwszej pochodnej podane przez:

${\ Displaystyle {\ epsilon _ {n}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {(y- {\beta ^{*}})^{n}{d\theta (x,y) \over dy}\mathrm {d} y}}$

gdzie średnia lokalizacja to grubość przemieszczenia termicznego . ${\ displaystyle \ beta ^ {*}}$ .

Ostatecznie momenty środkowe profilu temperaturowego drugiej pochodnej są określone wzorem:

$\ Displaystyle {\ phi _ {n}} = \ mu _ {T} \ int _ {0 }^{\infty }{(y-{\mu _{T}})^{n}{d^{2}\theta (x,y) \over dy^{2}}\mathrm {d} y }}$

gdzie średnia lokalizacja jest dana przez: ${\ displaystyle \ mu _ {T}}$

${\ Displaystyle {1 \ ponad \ mu _ {T}} = - \ lewo ({\ Frac {d \ teta (x, y)} {dy}}\right)_{y=0}}$

Po zdefiniowaniu momentów i położenia średniej termicznej grubość i kształt warstwy granicznej można opisać w kategoriach szerokości termicznej warstwy granicznej ( wariancja ), skośności termicznej i nadmiaru termicznego ( nadmiar kurtozy ). W przypadku rozwiązania Pohlhausena dla przepływu laminarnego na ogrzewanej płaskiej płycie stwierdzono, że grubość termicznej warstwy granicznej zdefiniowana jako ${\ Displaystyle \ delta _ {T} = m_ {T} + 4 \ sigma _{T}}$ gdzie bardzo dobrze $śledzi$

W przypadku przepływu laminarnego wszystkie trzy różne przypadki momentów dają podobne wartości grubości termicznej warstwy granicznej. W przypadku przepływu turbulentnego termiczną warstwę graniczną można podzielić na obszar w pobliżu ściany, w którym ważna jest dyfuzja termiczna, oraz obszar zewnętrzny, w którym efekty dyfuzji termicznej są w większości nieobecne. Biorąc wskazówkę z równania bilansu energii warstwy granicznej , drugiej pochodnej momentów warstwy granicznej, $śledź$ grubość i kształt tej części termicznej warstwy granicznej, w cieplna ${\ displaystyle {\ alpha}}$ jest znaczące. Stąd metoda momentów umożliwia śledzenie i ilościowe określanie regionu, w którym dyfuzyjność cieplna jest ważna, przy użyciu $momentów,$ ogólna termiczna warstwa graniczna jest śledzona za pomocą ${\ displaystyle {\ epsilon _ {n}}}$ i momenty ${\ Displaystyle {\ xi _ {n}}} .$

Obliczanie momentów różniczkowych bez konieczności wykonywania pochodnych jest uproszczone dzięki zastosowaniu całkowania przez części w celu sprowadzenia momentów do prostych całek opartych na jądrze grubości przemieszczenia termicznego:

$\ Displaystyle {k_ {n}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {y ^ {n} \ teta (x, y) \ ,\mathrm {d} y}}$

Oznacza to, że na przykład skośność drugiej pochodnej można obliczyć jako:

${\ Displaystyle \ gamma _ {T} = \ phi _ {3} / \ phi _ {2} ^ {3/2} = (2 \ mu _ {T} ^ {3} -6 \ beta ^ {*} \mu _{T}^{2}+6\mu _{T}k_{1})/(-\mu _{T}^{2}+2\mu _{T}\beta ^{*} )^{3/2}}$

Dalsza lektura

• Hermann Schlichting, Boundary-Layer Theory , wyd. 7, McGraw Hill, 1979.
• Frank M. White, Mechanika płynów , McGraw-Hill, wydanie 5, 2003.
•   Amir Faghri, Yuwen Zhang i John Howell, Advanced Heat and Mass Transfer , Global Digital Press, ISBN 978-0-9842760-0-4 , 2010.

Notatki

• Schlichting, Hermann (1979). Boundary-Layer Theory , wyd. 7, McGraw Hill, Nowy Jork, USA
• Weyburne, David (2006). „Matematyczny opis płynnej warstwy granicznej”, Applied Mathematics and Computation, tom. 175, s. 1675–1684
• Weyburne, David (2018). „Nowe parametry grubości i kształtu do opisu termicznej warstwy granicznej”, arXiv:1704.01120[physics.flu-dyn]