Idealna redukcja

Teoria redukcji wywodzi się z wpływowego artykułu Northcotta i Reesa z 1954 r., który wprowadził podstawowe pojęcia. W geometrii algebraicznej teoria jest jednym z podstawowych narzędzi do uzyskiwania szczegółowych informacji o zachowaniu powiększeń .

Biorąc pod uwagę ideały J ⊂ I w pierścieniu R , mówi się, że idealny J jest redukcją I , jeśli istnieje pewna liczba całkowita m > 0 taka, że ​​J $\ Displaystyle JI ^ {m} = I ^ {m+1}}$ . Dla takich ideałów, bezpośrednio z definicji, obowiązuje:

• dla każdego k , ${\ Displaystyle J ^ {k} ja ^ {m} = J ^ {k-1} ja ^ {m + 1}=\cdots =I^{m+k}}$ .
• J i ja mamy nad sobą ten sam radykalny i ten sam zestaw minimalnych ideałów pierwszych (odwrotność jest fałszywa).

Jeśli R jest pierścieniem noetherowskim, to J jest redukcją I wtedy i tylko wtedy, gdy algebra Reesa R [ It ] jest skończona nad R [ Jt ]. (To jest powód odniesienia do wybuchu.)

Ściśle powiązanym pojęciem jest spread analityczny . Z definicji pierścień stożka włókna lokalnego pierścienia noetherowskiego ( ) $wzdłuż$ ideału to

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {I} (R) = R [to] \otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {m}})\simeq \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/{\mathfrak {m}}I^{n} }$ .

Wymiar Krulla nazywany $_$ _ _ _ _ _ Biorąc $J to co$ redukcję , minimalna liczba generatorów analityczny rozrzut I . Częściowa odwrotność zachodzi również dla pól nieskończonych: jeśli jest nieskończona i jeśli liczba całkowita ℓ $\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle \ ell}$ jest analitycznym rozrzutem ja , to każda redukcja ja zawiera redukcję wygenerowaną $przez$ .

•    Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Całkowe zamknięcie ideałów, pierścieni i modułów , London Mathematical Society Lecture Note Series, tom. 336, Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4 , MR 2266432 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 15.11.2019 , pobrane 29.05.2022