Immanentny

W matematyce immanant macierzy został zdefiniowany przez Dudleya E. Littlewooda i Archibalda Reada Richardsona jako uogólnienie pojęć wyznacznika i trwałości .

Niech ${\ Displaystyle \ lambda = (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots)}$ będzie partycją liczby całkowitej ${\ displaystyle n}$ i niech będzie odpowiednim nieredukowalnym teoretycznym charakterem reprezentacji grupy symetrycznej ${\ displaystyle S_ {n} }$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ lambda}$ } immanent an _ ${\ Displaystyle n \ razy n}$ macierz ${\ Displaystyle A = (a_ {ij})}$ związana ze znakiem jest zdefiniowana ${\ Displaystyle \ chi _ {\ lambda}}$ jako wyrażenie

{\ Displaystyle \ operatorname {Imm} _ {\ lambda} (A) = \ suma _ {\ sigma \ w S_ {n}} \ chi _ {\ lambda} (\ sigma) a_ {1 \ sigma (1)} a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}.}

Przykłady

Wyznacznik jest szczególnym przypadkiem immanantu, gdzie jest naprzemiennym znakiem ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn}}$ _, $zdefiniowanym$ przez parzystość permutacji { \ lambda}} .

Stała to przypadek, w którym jest trywialnym znakiem , który jest identycznie równy 1. ${\ Displaystyle \ chi _ {\ lambda}}$

Na przykład dla macierzy istnieją trzy nieredukowalne reprezentacje , jak pokazano ${\ displaystyle 3$ tabeli znaków: $\ razy 3}$

${\ displaystyle S_ {3}}$	$mi {\ displaystyle e$	${\ Displaystyle (1 \ 2)}$	${\ Displaystyle (1 \ 2 \ 3)}$
${\ Displaystyle \ chi _ {1}}$	1	1	1
${\ Displaystyle \ chi _ {2}}$	1	−1	1
${\ Displaystyle \ chi _ {3}}$	2	0	−1

Jak wspomniano powyżej, $tworzy to,$ $}$ trwałe, i wyznacznik, ale produkuje χ $Displaystyle \ chi _$ operacja, która odwzorowuje w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a_ {11}& a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \ koniec{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}}

Nieruchomości

Immanant dzieli kilka właściwości z determinantem i permanentem. W szczególności immanant jest wieloliniowy w wierszach i kolumnach macierzy; a immanant jest niezmienny przy równoczesnych permutacjach wierszy lub kolumn przez ten sam element grupy symetrycznej .

Littlewood i Richardson badali związek funkcji immanentnej z funkcjami Schura w teorii reprezentacji grupy symetrycznej .

Warunki konieczne i wystarczające, aby immanant macierzy Grama był ${\ displaystyle 0},$ podaje twierdzenie Gamasa .

DE Littlewood ; AR Richardsona (1934). „Znaki grupowe i algebry” . Transakcje filozoficzne Towarzystwa Królewskiego A. 233 (721–730): 99–124. doi : 10.1098/rsta.1934.0015 .
DE Littlewood (1950). Teoria znaków grupowych i reprezentacji macierzowych grup (wyd. 2). Uniwersytet Oksfordzki Prasa (przedrukowany przez AMS, 2006). P. 81.