Interpretacja Brouwera – Heytinga – Kołmogorowa

W logice matematycznej interpretację Brouwera – Heytinga – Kołmogorowa lub interpretację BHK logiki intuicjonistycznej zaproponowali LEJ Brouwer i Arend Heyting oraz niezależnie Andriej Kołmogorow . Czasami nazywa się to również interpretacją realizability , ze względu na związek z teorią realizability Stephena Kleene'a . Jest to standardowe wyjaśnienie logiki intuicjonistycznej.

Interpretacja

Interpretacja określa, co ma być dowodem danej formuły . Określa to indukcja po strukturze tego wzoru:

• Dowodem na to $\$$langle a, b \ rangle}$ , gdzie ${\ displaystyle a}$ dowodem na $∧ Q {\ Displaystyle P \ klin Q}$ i ${\ displaystyle b}$ jest dowodem na to, że ${\ displaystyle Q}$ .
• Dowodem na to jest albo ${\ Displaystyle$ a $displaystyle a}$${\ Displaystyle \ langle 1, b \ rangle}$ jest dowodem na ${\ Displaystyle P \ vee Q}$ ⟨ $a \ rangle}$ gdzie ${\ displaystyle b}$ jest dowodem ${\ displaystyle Q}$ .
• Dowód $displaystyle P \ do Q}$$\ displaystyle P }$$\$ jest funkcją , która przekształca dowód dowód ${$ .
• Dowód ${\ Displaystyle (\ istnieje x {\ w} S) P}$ to para ${\ Displaystyle \ langle x, a \ rangle}$ gdzie ${\ Displaystyle x }$$displaystyle P}$ elementem i jest $\$ na ${$ .
• Dowodem na $(\ forall x {\ in} S) P}$$S}$ jest funkcja , która konwertuje element z $}$$displaystyle$$displaystyle f}$ na dowód ${\ displaystyle P}$ .
• Formuła ${\ displaystyle \ neg P}$$f$$.$ jako , więc dowodem na to jest funkcja , która konwertuje dowód $P}$${\$ na dowód ${\ displaystyle \ bot}$ .
• Nie ma dowodu na $($ lub typ dna brak zakończenia w niektórych językach programowania).

Interpretacja zdania pierwotnego ma być znana z kontekstu. $W$ kontekście arytmetyki dowodem wzoru redukujące te dwa wyrazy do tej samej liczby

Kołmogorow podążał tymi samymi liniami, ale sformułował swoją interpretację w kategoriach problemów i rozwiązań. Twierdzenie o istnieniu formuły oznacza twierdzenie, że znamy rozwiązanie problemu reprezentowanego przez tę formułę. Na przykład ${\ Displaystyle P \ do Q}$ jest problemem zredukowania do $displaystyle$$P}$ ; $jego$ rozwiązanie wymaga metody rozwiązania problemu, $pod$ uwagę rozwiązanie .

Przykłady

Funkcja tożsamości jest dowodem wzoru , bez względu na to, czym jest P. $}$ P .

Prawo niesprzeczności ${\ Displaystyle \ neg (P \ klin \ neg P)}$ rozszerza się do ${\ Displaystyle (P \ klin (P \ do \bot ))\do \bot }$ :

• Dowód ${\ Displaystyle (P \ klin (P \ do \ bot)} \ do \ bot}$$jest$ funkcją , konwertuje dowód ${\ Displaystyle (P \ klin (P \ do \ bot)}}$ w dowód ${\ Displaystyle \ bot}$ .
• Dowód ${\ Displaystyle (P \ klin (P \ do \ bot)}}$ to para dowodów < za , b > , gdzie jest dowodem na ${\ Displaystyle a}$ P. i ${\ Displaystyle b}$ jest dowodem ${\ Displaystyle P \ do \ bot}$ .
• Dowód ${\ displaystyle P \ do \ bot}$ to funkcja, która konwertuje dowód P na dowód ${\ displaystyle \ bot}$ .

Łącząc to wszystko razem, dowodem ${\ Displaystyle (P \ klin (P \ do \ bot)} \ do \ bot}$ jest funkcją , która konwertuje ${\ displaystyle f}$ para < $za$ , b > - gdzie $P$ dowodem , a jest , która przekształca dowód P w dowód - w ⊥ $\ Displaystyle \ bot$ } dowód ${\ displaystyle \ bot}$ . $za$ funkcja , która to robi ${\ Displaystyle f (\ langle a, b \ rangle) = b (a)$ gdzie } prawo niesprzeczności, bez względu na to, czym jest P.

Rzeczywiście, ten sam sposób myślenia dostarcza również dowodu na ${\ Displaystyle (P \ klin (P \ do Q)} \ do Q}$ , gdzie ${\ Displaystyle Q}$ jest jakąkolwiek propozycją.

$vee (P \ do \$ drugiej strony prawo wyłączonego środka rozszerza $($ na i generalnie nie ma dowodu. Zgodnie z interpretacją dowodem jest para < $P\vee (\neg P)$ b > gdzie a wynosi is 0 and is a proof of , or a is 1 and b is a proof of $P\to \bot$. Thus if neither P nor $P\to \bot$ is provable then neither is $P\vee (\neg P)$.

Definicja absurdu

Na ogół nie jest możliwe, aby system logiczny miał formalny $P}$ negacji taki, że istnieje dowód „nie” dokładnie wtedy, gdy nie ma dowodu na $displaystyle$ ; zobacz twierdzenia Gödla o niezupełności . Zamiast tego interpretacja BHK przyjmuje, że „nie” oznacza, że ​​​​prowadzi do absurdu, oznaczonego $\ displaystyle \ bot}$${$$,$ że dowód . $displaystyle P}$ gdzie jest funkcją przekształcającą dowód $na$ absurdu.

Standardowym przykładem absurdu jest zajmowanie się arytmetyką. Załóżmy, że 0 = 1 i postępuj zgodnie z indukcją matematyczną : 0 = 0 zgodnie z aksjomatem równości. Teraz (hipoteza indukcyjna), gdyby 0 było równe pewnej liczbie naturalnej n , to 1 byłoby równe n + 1, ( aksjomat Peano : S m = S n wtedy i tylko wtedy, gdy m = n ), ale ponieważ 0 = 1 , zatem 0 byłoby również równe n + 1. Przez indukcję 0 jest równe wszystkim liczbom, a zatem dowolne dwie liczby naturalne stają się równe.

Dlatego istnieje sposób przejścia od dowodu 0 = 1 do dowodu dowolnej podstawowej równości arytmetycznej, a tym samym do dowodu dowolnego złożonego twierdzenia arytmetycznego. Co więcej, aby uzyskać ten wynik, nie trzeba było odwoływać się do aksjomatu Peano, który mówi, że 0 „nie” jest następcą dowolnej liczby naturalnej. To sprawia, że ​​0 = 1 nadaje się jako ${\ displaystyle \ bot}$ w arytmetyce Heytinga (a aksjomat Peano jest przepisywany 0 = S n → 0 = S 0). To użycie 0 = 1 potwierdza zasadę eksplozji .

Definicja funkcji

Interpretacja BHK będzie zależała od przyjętego poglądu na temat tego, co stanowi funkcję , która przekształca jeden dowód w inny lub która przekształca element dziedziny w dowód. W tej kwestii różne wersje konstruktywizmu będą się różnić.

realizowalności Kleene'a identyfikuje funkcje z funkcjami obliczalnymi . Zajmuje się arytmetyką Heytinga, gdzie dziedziną kwantyfikacji są liczby naturalne, a zdania pierwotne mają postać x = y . Dowód x = y jest po prostu trywialnym algorytmem, jeśli x ma tę samą liczbę, co y (co jest zawsze rozstrzygalne dla liczb naturalnych), w przeciwnym razie nie ma dowodu. Są one następnie budowane przez indukcję w bardziej złożone algorytmy.

Jeśli przyjmiemy, że rachunek lambda definiuje pojęcie funkcji, to interpretacja BHK opisuje zgodność między dedukcją naturalną a funkcjami.

• Troelstra, A. (1991). „Historia konstruktywizmu w XX wieku” (PDF) .
•   Troelstra, A. (2003). „Konstruktywizm i teoria dowodu (wersja robocza)”. CiteSeerX 10.1.1.10.6972 . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )