Klon (algebra)

W algebrze uniwersalnej klon jest zbiorem C skończonych operacji na zbiorze A takim, że

  • C zawiera wszystkie rzuty π k n : A n → A , określone przez π k n ( x 1 , …, x n ) = x k ,
  • C jest domknięte pod (superpozycją) (superpozycją) (finitarną wielokrotnością ): jeśli f , g 1 , …, g m są elementami C takimi, że f jest m -ary, a g j jest n -ary dla wszystkich j , to n - argumentalna operacja h ( x 1 , …, x n ) := f ( g 1 ( x 1 , …, x n ), …, g m ( x 1 , …, x n )) jest w C .

Kwestia, czy klony powinny zawierać operacje zerowe, czy nie, nie jest traktowana jednolicie w literaturze. Klasyczne podejście, o czym świadczą standardowe monografie teorii klonów, uwzględnia tylko klony zawierające przynajmniej jednoargumentowe operacje. Jednak z niewielkimi modyfikacjami (związanymi z pustą niezmienną relacją) większość zwykłej teorii można przenieść do klonów umożliwiających operacje zerowe. Bardziej ogólna koncepcja obejmuje wszystkie klony bez operacji zerowych jako podklony klonu wszystkich co najmniej operacji jednoargumentowych i jest zgodna ze zwyczajem dopuszczania terminów zerowych i operacji na wyrazach zerowych w algebrze uniwersalnej. Zazwyczaj publikacje badające klony jako klony abstrakcyjne, np. w ramach teorii kategorii teorii algebraicznych Lawvere'a, będą zawierały operacje zerowe.

Biorąc pod uwagę algebrę w sygnaturze σ , zbiór operacji na jej nośniku definiowalny przez człon σ ( termin funkcje ) jest klonem. I odwrotnie, każdy klon można zrealizować jako klon funkcji terminowych w odpowiedniej algebrze, po prostu biorąc sam klon jako źródło podpisu σ , tak aby algebra miała cały klon jako swoje podstawowe operacje.

Jeśli A i B są algebrami z tym samym nośnikiem, tak że każda podstawowa funkcja A jest funkcją terminową w B i odwrotnie, to A i B mają ten sam klon. Z tego powodu współczesna algebra uniwersalna często traktuje klony jako reprezentację algebr, która abstrahuje od ich sygnatury.

Na zbiorze jednoelementowym jest tylko jeden klon (są dwa, jeśli rozważa się operacje zerowe). Krata klonów na zbiorze dwuelementowym jest policzalna i została w pełni opisana przez Emila Posta (patrz krata Posta , która tradycyjnie nie pokazuje klonów z operacjami zerowymi). Klony w większych zestawach nie dopuszczają prostej klasyfikacji; istnieje continuum - wiele klonów na skończonym zbiorze o rozmiarze co najmniej trzech i 2 2 κ (nawet tylko maksymalnych, tj. przedkompletnych) klonów na nieskończonym zbiorze liczności κ .

abstrakcyjne klony

Philip Hall wprowadził pojęcie abstrakcyjnego klonu . Abstrakcyjny klon różni się od konkretnego klonu tym, że zbiór A nie jest dany. Formalnie abstrakcyjny klon obejmuje

  • zbiór C n dla każdej liczby naturalnej n ,
  • elementy π k , n w C n dla wszystkich k ≤ n , oraz
  • rodzina funkcji ∗: C m × ( C n ) m → C n dla wszystkich m i n

takie że

  • do * ( π 1, n , …, π n , n ) = do
  • π k , m * ( do 1 , …, do m ) = do k
  • do * ( re 1 * ( mi 1 , …, mi n ), …, re m * ( mi 1 , …, mi n )) = ( do * ( re 1 , …, re m )) * ( mi 1 , …, e n ).

Każdy konkretny klon w oczywisty sposób określa klon abstrakcyjny.

Każda teoria algebraiczna określa abstrakcyjny klon, w którym C n jest zbiorem terminów w n zmiennych, π k , n są zmiennymi, a ∗ jest podstawieniem. Dwie teorie określają klony izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie kategorie algebr są izomorficzne. Cn , każdy abstrakcyjny klon określa teorię algebraiczną z n -arną operacją dla każdego elementu . Daje to bijekcyjną zgodność między abstrakcyjnymi klonami a teoriami algebraicznymi.

Każdy abstrakcyjny klon C indukuje teorię Lawvere'a , w której morfizmy m → n są elementami ( C m ) n . To indukuje bijekcyjną zgodność między teoriami Lawvere a abstrakcyjnymi klonami.

Zobacz też

Notatki

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Clone_(algebra)&oldid=1126450388 ”