Korelacja finansowa

Korelacje finansowe mierzą związek między zmianami dwóch lub więcej zmiennych finansowych w czasie. Na przykład ceny akcji i obligacji o stałym oprocentowaniu często zmieniają się w przeciwnych kierunkach: kiedy inwestorzy sprzedają akcje, często wykorzystują wpływy do zakupu obligacji i odwrotnie. W tym przypadku ceny akcji i obligacji są ujemnie skorelowane.

Korelacje finansowe odgrywają kluczową rolę we współczesnych finansach . W modelu wyceny aktywów kapitałowych (CAPM; model nagrodzony Nagrodą Nobla ) wzrost dywersyfikacji zwiększa stosunek zwrotu do ryzyka. Miary ryzyka obejmują wartość zagrożoną , oczekiwany niedobór i wariancję zwrotu z portfela .

Korelacja finansowa i współczynnik korelacji momentu iloczynu Pearsona

Istnieje kilka miar statystycznych stopnia korelacji finansowych. Współczynnik korelacji momentu iloczynu Pearsona jest czasami stosowany do korelacji finansowych. Jednak ograniczenia metody korelacji Pearsona w finansach są oczywiste. Po pierwsze, liniowe zależności oceniane za pomocą współczynnika korelacji Pearsona nie pojawiają się często w finansach. Po drugie, miary korelacji liniowej są miarami naturalnej zależności tylko wtedy, gdy wspólny rozkład zmiennych jest eliptyczny . Jednak tylko kilka rozkładów finansowych, takich jak wielowymiarowy rozkład normalny i wielowymiarowy rozkład student-t, to szczególne przypadki rozkładów eliptycznych, dla których miara korelacji liniowej może być sensownie interpretowana. Po trzecie, zerowy współczynnik korelacji iloczynu Pearsona niekoniecznie oznacza niezależność, ponieważ uwzględniane są tylko dwa pierwsze momenty. Na przykład ( $≠$ 0) doprowadzi do zerowego współczynnika korelacji Pearsona, co prawdopodobnie błąd Ponieważ podejście Pearsona jest niezadowalające do modelowania korelacji finansowych, analitycy ilościowi opracowali specjalne miary korelacji finansowych. Dokładne oszacowanie korelacji wymaga uwzględnienia w procesie modelowania marginesów takich cech, jak skośność i kurtoza . Nieuwzględnienie tych atrybutów może prowadzić do poważnego błędu oszacowania w korelacjach i kowariancjach, które mają odchylenia ujemne (nawet 70% wartości prawdziwych). W praktycznym zastosowaniu w optymalizacji portfela najważniejsze jest dokładne oszacowanie macierzy wariancji-kowariancji . Zatem prognozowanie za pomocą symulacji Monte-Carlo z kopułą Gaussa i dobrze określonymi rozkładami krańcowymi jest skuteczne.

Miary korelacji finansowej

Korelacja ruchów Browna

Steven Heston zastosował podejście korelacyjne, aby ujemnie skorelować stochastyczne zwroty z akcji ${\ Displaystyle {\ Frac {dS (t)} {S (t)}}}$ i zmienność stochastyczna ${\ styl wyświetlania \ \sigma (t)}$ . Podstawowymi równaniami oryginalnego modelu Hestona są dwa stochastyczne równania różniczkowe , SDE

${\ Displaystyle {\ Frac {dS (t)} {S (t)}} = \ mu \, dt + \ sigma (t)\,dz_{1}(t)}$ (1)

I

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {2} (t) = g [\ sigma _{L}^{2}-\sigma ^{2}(t)]\,dt+\xi \sigma (t)\,dz_{2}(t)}$ (2)

$displaystyle$$} \displaystyle S}$ akcje bazowe, to oczekiwana stopa wzrostu $,$ a to stochastyczna $S$ w czasie t. W równaniu (2) $σ$ , która przyciąga wariancję do jej długoterminowej $^ {2}}$$\$$i$ jest zmiennością zmienności σ (t). dz (t) jest standardowym ruchem Browna , tj. ${\ Displaystyle dz (t) = \ varepsilon _ {t} {\ sqrt {dt}}}$ , $t}}$${\ Displaystyle \ \varepsilon _$$jest$ jest iid , w szczególności losowym rysunkiem ze standardowego rozkładu normalnego n ~ (0,1) W równaniu (1) bazowy jest zgodny ze standardowym geometrycznym ruchem Browna, który jest również stosowany w $zakłada$ Blacka – Scholesa – Mertona , który jednak stałą zmienność. Korelację między procesami stochastycznymi (1) i (2) wprowadza się przez skorelowanie dwóch ruchów Browna i re $\ displaystyle dz_ {1}}$ i ${\ displaystyle dz_ {2}}$ . Chwilowa korelacja między ruchami Browna wynosi ${\ displaystyle \ \ rho}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Corr} [dz_ {1} (t), dz_ {2} (t)] = \ rho \ ,dt}$ (3).

Definicja (3) może być wygodnie modelowana za pomocą tożsamości

${\ Displaystyle dz_ {1} (t) = {\ sqrt {\ rho}} dz_ {2} (t) +{\sqrt {1-\rho}}\,dz_{3}(t)}$ (4)

gdzie ${\ Displaystyle dz_ {2} (t)}$ i ${\ Displaystyle dz_ {3} (t)}$ są niezależne i ${\ Displaystyle dz ( t)}$ i ${\ Displaystyle dz (t')}$ są niezależne, t ≠ t '.

Cointelation SDE łączy powyższe SDE z koncepcją powrotu do średniej i dryfu, które są zwykle pojęciami niezrozumianymi przez praktyków.

Dwumianowy współczynnik korelacji

Kolejna miara korelacji finansowej, stosowana głównie do korelacji niewykonania zobowiązania, to metoda korelacji dwumianowej Lucasa (1995). $}}}$ \ i ${\ Displaystyle 1_ {Y} = 1 _ {\ {\ tau _ {Y} \ równoważnik T \}}} gdzie$ τ $\ Displaystyle \ tau _ {X}}$ jest domyślnym czasem podmiotu ${\ Displaystyle X }$ i jest $czasem$ jednostki $Y}$ . W związku z tym, jeśli jednostka nie domyśli się przed lub w czasie $,$ losowa zmienna wskaźnikowa przyjmie wartość 1, aw przeciwnym razie 0. $}$$displaystyle$ To samo dotyczy ${\ displaystyle Y}$ . Ponadto ${\ Displaystyle P (X)}$ i $Displaystyle P (Y)}$${\ Displaystyle P (XY)}$ jest domyślnym prawdopodobieństwem odpowiednio i ${\ Displaystyle X}$ i ${\ Displaystyle Y}$ to łączne prawdopodobieństwo niewykonania zobowiązania . Odchylenie standardowe zdarzenia dwumianowego z jedną próbą wynosi ${\ Displaystyle {\ sqrt {P (X) - (P (X)) ^ {2}}}$ } P jest prawdopodobieństwem wyniku X. Stąd wyprowadzamy wspólny domyślny współczynnik zależności zdarzeń dwumianowych ${\ Displaystyle 1 _ {\ {\ tau _ {X} \ równoważnik T \}}}$ i ${\ Displaystyle 1 _ {\ {\ tau _ {Y} \ równoważnik T \}}}$ jak

${\ Displaystyle \ rho (1 _ {\ {\ tau _ {X} \ równoważnik T \}}, 1 _ {\ {\ tau _ {Y} \ równoważnik T \}}) = {\ frac {P(XY)-P(X)P(Y)}{{\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}{\sqrt {P(Y)-(P( Y))^{2}}}}}}$ (5).

Z założenia równanie (5) może modelować tylko zdarzenia dwumianowe, na przykład domyślne i bez domyślnych. Podejście korelacji dwumianowej równania (5) jest granicznym przypadkiem podejścia korelacji Pearsona omówionego w części 1. W konsekwencji, istotne wady podejścia korelacji Pearsona w modelowaniu finansowym dotyczą również modelu korelacji dwumianowej.

Korelacje kopuły

Stosunkowo nowym, znanym i niesławnym podejściem korelacyjnym stosowanym w finansach jest podejście copula . Kopuły wracają do Sklar (1959). Kopuły zostały wprowadzone do finansów przez Vasicka (1987) i Li (2000).

Kopuły upraszczają problemy statystyczne. Umożliwiają łączenie wielu rozkładów jednowymiarowych w jeden rozkład wielowymiarowy. Formalnie funkcja kopuli C przekształca funkcję n-wymiarową na przedziale [0,1] w funkcję jednowymiarową:

${\ Displaystyle C: [0,1] ^ {n} \ rightarrow [0,1]}$ (6).

$będzie$ dokładniej, niech jednolitym wektorem losowym ${\ Displaystyle u_ {i} = u_ {1}, ..., u_ {n}, u_ {i} \ w [0,1]$${ \displaystyle i\w N}$ ja . Wtedy istnieje funkcja kopuli taka, że ​​do ${\ displaystyle C$

${\ Displaystyle C (u_ {1}, \ ldots, u_ {n} )=F[F_{1}^{-1}(u_{1}),\ldots ,F_{n}^{-1}(u_{n})]} (7$ )

$,$ łączną dystrybucją skumulowaną a = 1, ..., n _ja są jednowymiarowymi rozkładami krańcowymi. ${\ Displaystyle F_ {i} ^ {- 1}}$ jest odwrotnością ${\ displaystyle \ F_ {i}}$ . Jeśli rozkłady krańcowe $,$ , wynika z Właściwości i dowody równania (11) można znaleźć w Sklar (1959) i Nelsen (2006). Istnieje wiele typów funkcji kopuli. Można je ogólnie podzielić na kopuły jednoparametrowe, takie jak kopuła Gaussa i kopuła Archimedesa, które obejmują kopuły Gumbela, Claytona i Franka. Często cytowane kopuły dwuparametrowe to student-t, Fréchet i Marshall-Olkin. Aby zapoznać się z przeglądem tych kopul, patrz Nelsen (2006). W finansach kopuły są zwykle stosowane do wyprowadzenia skorelowanych prawdopodobieństw niewykonania zobowiązania w portfelu na przykład w zabezpieczonym zobowiązaniu dłużnym , CDO. Po raz pierwszy zrobił to Li w 2006 $\ displaystyle Q_ {i} (t)}$$.$ Zdefiniował jednolite marginesy jako skumulowane prawdopodobieństwa niewykonania zobowiązania Q dla podmiotu i w ustalonym czasie t, :

${\ Displaystyle \ u_ {i} = Q_ {i} (t)}$ (8).

Stąd z równań (7) i (8) wyprowadzamy domyślną kopułę czasową Gaussa CGD,

${\ Displaystyle C_ {GD }(u_{1},\ldots,u_{n})=M_{n,R}[N_{1}^{-1}(Q_{1}(t)),\ldots,N_{n}^ {-1}(Q_{n}(t))]}$ (9).

$t)}$$odwzorowują$ ) terminy skumulowane prawdopodobieństwa niewykonania zobowiązania Q aktywa i przez czas t, $\ Displaystyle Q_ {i}$ , percentyl do percentyla do standardowej normy. Odwzorowane standardowe rozkłady ${$$\ displaystyle M_ {n, R}}$$w$ pojedynczy przez zastosowanie struktury korelacji wielowymiarowego rozkładu normalnego z macierzą korelacji R. Prawdopodobieństwo n skorelowanych wartości domyślnych w czasie t jest podane przez ${\ Displaystyle M_ {n, R}}$ .

Copulae i kryzys finansowy 2007–2008

Napisano wiele artykułów nieakademickich demonizujących podejście kopulacyjne i obwiniających je za światowy kryzys finansowy w latach 2007/2008, patrz na przykład Salmon 2009, Jones 2009 i Lohr 2009. Istnieją trzy główne krytyki podejścia kopulacyjnego: (a ) zależność ogona, (b) kalibracja, (c) zarządzanie ryzykiem .

(a) Zależność od ogona

W kryzysie korelacje finansowe zwykle rosną, zob. badania Dasa, Duffie, Kapadia i Saita (2007) oraz Duffie, Eckner, Horel i Saita (2009) oraz zawarte w nich odniesienia. Stąd pożądane byłoby zastosowanie modelu korelacji z dużymi współruchami w dolnym ogonie wspólnego rozkładu. Można matematycznie wykazać, że kopuła Gaussa ma stosunkowo niską zależność od ogona, co widać na poniższych wykresach punktowych.

Rysunek 1: Wykresy punktowe różnych modeli kopuli

Jak widać na rycinie 1b, kopuła student-t wykazuje wyższą zależność od ogona i może lepiej nadawać się do modelowania korelacji finansowych. Ponadto, jak widać na rycinie 1 (c), kopuła Gumbela wykazuje wysoką zależność od ogona, szczególnie w przypadku współruchów ujemnych. Zakładając, że korelacje rosną, gdy ceny aktywów spadają, kopuła Gumbela może być również dobrym podejściem korelacyjnym do modelowania finansowego.

(b) Kalibracja

Kolejną krytyką kopuły Gaussa jest trudność w skalibrowaniu jej do cen rynkowych. W praktyce do modelowania korelacji niewykonania zobowiązania między dowolnymi dwoma podmiotami w zabezpieczonym zobowiązaniu dłużnym, CDO, używany jest zazwyczaj pojedynczy parametr korelacji (nie macierz korelacji). Koncepcyjnie ten parametr korelacji powinien być taki sam dla całego portfela CDO. Jednak handlowcy losowo zmieniają parametr korelacji dla różnych transz , aby uzyskać pożądane spready dla transz. Handlowcy zwiększają korelację dla „ekstremalnych” transz, takich jak transza akcji lub transze uprzywilejowane, określane jako uśmiech korelacji. Jest to podobne do często cytowanego implikowanego uśmiechu zmienności w modelu Blacka – Scholesa – Mertona. W tym przypadku inwestorzy zwiększają implikowaną zmienność, zwłaszcza w przypadku opcji put out-of-the-money, ale także w przypadku opcji out-of-the-money call w celu podwyższenia ceny opcji. .

W ramach optymalizacji średniej wariancji najważniejsze jest dokładne oszacowanie macierzy wariancji-kowariancji . Zatem prognozowanie za pomocą symulacji Monte-Carlo z kopułą Gaussa i dobrze określonymi rozkładami krańcowymi jest skuteczne. Ważne jest, aby proces modelowania uwzględniał empiryczne charakterystyki zwrotów z akcji, takie jak autoregresja, zmienność asymetryczna, skośność i kurtoza. Nieuwzględnienie tych atrybutów prowadzi do poważnego błędu oszacowania w korelacjach i wariancjach, które mają odchylenia ujemne (aż 70% wartości prawdziwych).

(c) Zarządzanie ryzykiem

Dalszą krytyką podejścia Copula jest to, że model Copula jest statyczny iw konsekwencji umożliwia jedynie ograniczone zarządzanie ryzykiem, patrz Finger (2009) lub Donnelly i Embrechts (2010). Oryginalne modele kopuł Vasicka (1987) i Li (2000) oraz kilka rozszerzeń modelu, jak Hull i White (2004) czy Gregory i Laurent (2004) mają horyzont czasowy jednego okresu, tj. są statyczne. W szczególności nie istnieje proces stochastyczny dla krytycznych zmiennych bazowych, intensywności niewypłacalności i korelacji niewykonania zobowiązania. Jednak nawet w tych wczesnych sformułowaniach copula, weryfikacja historyczna i testowanie warunków skrajnych zmiennych dla różnych horyzontów czasowych może dać cenną wrażliwość, patrz Whetten i Adelson (2004) oraz Meissner, Hector i. Rasmussena (2008). Ponadto zmienne kopuły można uczynić funkcją czasu, jak w Hull, Predescu i White (2005). To wciąż nie tworzy w pełni dynamicznego procesu stochastycznego z dryfem i szumem, co pozwala na elastyczne zabezpieczanie i zarządzanie ryzykiem. Najlepszymi rozwiązaniami są prawdziwie dynamiczne szkielety kopuł, patrz sekcja „Dynamiczne kopuły” poniżej.

Irracjonalne samozadowolenie

Przed globalnym kryzysem finansowym w latach 2007–2008 wielu uczestników rynku bezkrytycznie i naiwnie ufało modelowi kopuły. Jednak kryzys z lat 2007–2008 nie był kwestią konkretnego modelu korelacji, ale raczej kwestią „irracjonalnego samozadowolenia”. W wyjątkowo łagodnym okresie od 2003 do 2006 r. odpowiednie zabezpieczenia, właściwe zarządzanie ryzykiem i wyniki testów warunków skrajnych były w dużej mierze ignorowane. Najlepszym przykładem jest londyńska spółka zależna AIG, która sprzedała swapy ryzyka kredytowego i zabezpieczyła zobowiązania dłużne na kwotę blisko 500 miliardów dolarów, nie przeprowadzając żadnych większych zabezpieczeń. Aby zapoznać się z wnikliwym artykułem na temat nieodpowiedniego zarządzania ryzykiem prowadzącego do kryzysu, zobacz „Osobiste spojrzenie na kryzys – wyznania menedżera ryzyka” (The Economist 2008). W szczególności, jeśli jakikolwiek model korelacji kredytowej jest zasilany łagodnymi danymi wejściowymi, takimi jak niska intensywność niewykonania zobowiązania i niska korelacja niewykonania zobowiązania, dane wyjściowe ryzyka będą łagodne, „śmieci w śmieciach” w terminologii modelowania.

Kopuły dynamiczne

Podstawowym ulepszeniem modeli kopuł są dynamiczne kopuły, wprowadzone przez Albanese i in. (2005) i (2007). Podejście „warunkowania dynamicznego” modeluje ewolucję wieloczynnikowych supersieci, które korelują procesy powrotu każdej jednostki na każdym kroku czasowym. Dwumianowe kopuły dynamiczne stosują metody kombinatoryczne, aby uniknąć symulacji Monte Carlo. Bogatsze dynamiczne kopuły Gaussa wykorzystują symulację Monte Carlo i wiążą się z kosztem wymagającej potężnej technologii komputerowej.

Warunkowo niezależne modelowanie korelacji domyślnych (CID).

Aby uniknąć określania domyślnej korelacji między każdą parą podmiotów w portfelu, często stosuje się faktoryzację. Prowadzi to do warunkowo niezależnego modelowania domyślnego (CID). Najszerzej stosowanym modelem CID jest jednoczynnikowy model kopuły Gaussa (OFGC). Był to de facto rynkowy model wyceny CDO przed światowym kryzysem finansowym 2007/2008. Podstawowe równanie modelu OFGC

${\ Displaystyle x_ {i} = {\ sqrt {\ rho}} M + {\ sqrt {1- \ rho}} Z_ {i}}$ (10)

gdzie i są $Displaystyle$ rysunkami z $N (0,1)}$$i$ ≤ $\równik 1}$$Displaystyle 0 \ równoważnik \$ . W rezultacie zmienna utajona $.$ interpretowana jako wartość aktywów i, patrz Turc, Very, Benhamou i Alvarez et al (2005), również n~(0,1). Wspólny czynnik $otoczenie$ gospodarcze, prawdopodobnie reprezentowane przez powrót S&P 500. Z $\ displaystyle Z_ {i}}$ ewentualnie mierzona stopą zwrotu z akcji jednostki i. Z równania (10 $zmiennej$ widzimy, że korelacja między bytami i jest modelowana pośrednio przez $warunkowanie$ wspólnym . Na przykład dla p = 1 zmienne ukryte wszystkich podmiotów ${\ Displaystyle i = 1, ..., n, \ x_ {i} = M}$$,$ więc są w każdej symulacji Dla p = 0, wszystkie utajone zmienne dla wszystkich jednostek ${\ Displaystyle i = 1, \ ldots, n, \ x_ {i} = Z_ {i}}$ , stąd ${\ displaystyle x_ {i}}$ są niezależne. Co ważne, gdy ustalimy wartość M, wartości domyślne n jednostek są (warunkowo na M) wzajemnie niezależne.

Od 2010 r. podstawą zarządzania ryzykiem kredytowym w Bazylei II jest OFGC . Zaletą modelu jest prostota i intuicyjność. Jedną z głównych wad tego modelu jest to, że handlowcy wyceniając CDO losowo zmieniają parametr korelacji dla różnych transz CDO, aby osiągnąć pożądane spready transzowe. Jednak koncepcyjnie parametr korelacji powinien być identyczny dla całego portfela.

Domyślne modelowanie zarażania

Domyślne modelowanie zarażania można postrzegać jako odmianę modelowania CID. Jak omówiono w sekcji 2.3, w modelu CID korelacja jest modelowana poprzez warunkowanie wspólnym czynnikiem rynkowym M, który wpływa na wszystkie podmioty w takim samym stopniu. Im niższy losowy rysunek dla M, tym wyższa jest domyślna intensywność wszystkich bytów (chyba że ρ = 0). Dlatego modelowanie CID może wyjaśnić domyślne klastrowanie. W przeciwieństwie do tego podejście zarażania modeluje intensywność niewypłacalności podmiotu jako funkcję niewypłacalności innego podmiotu. W związku z tym modelowanie niewykonania zobowiązania w wyniku zarażania uwzględnia ryzyko kontrahenta, tj. bezpośredni wpływ podmiotu niewypłacalnego na intensywność niewykonania zobowiązania przez inny podmiot. W szczególności po niewypłacalności danego podmiotu wzrasta intensywność niewypłacalności wszystkich aktywów w portfelu. Ta domyślna zaraza zwykle zanika wykładniczo do niezakaźnych domyślnych poziomów intensywności. Zobacz artykuły Davisa i Lo (2001) oraz Jarrowa i Yu (2001), którzy byli pionierami modelowania domyślnego zarażania.

Podejścia korelacyjne odgórne

W ramach modelowania korelacji kredytowej dość nowym podejściem do korelacji jest modelowanie odgórne. Tutaj ewolucja rozkładu intensywności portfela jest wyprowadzana bezpośrednio, tj. abstrahując od domyślnych intensywności poszczególnych podmiotów. Modele top-down są zwykle stosowane w praktyce, jeśli:

• Domyślne intensywności poszczególnych jednostek są niedostępne lub niewiarygodne.
• Domyślne intensywności poszczególnych obiektów są niepotrzebne. Może tak być w przypadku oceny jednorodnego portfela, takiego jak indeks jednorodnych podmiotów.
• Sama wielkość portfela sprawia, że ​​modelowanie poszczególnych intensywności niewypłacalności jest problematyczne.

Modele odgórne są zazwyczaj bardziej oszczędne, wydajne obliczeniowo i często można je lepiej skalibrować do cen rynkowych niż modele oddolne. Chociaż pozornie ważne informacje, takie jak intensywność niewypłacalności poszczególnych podmiotów, są pomijane, model odgórny może zwykle lepiej uchwycić właściwości portfela, takie jak zmienność lub uśmiechy korelacyjne. Ponadto domyślne informacje dotyczące poszczególnych jednostek można często wywnioskować za pomocą technik losowego przerzedzania, patrz Giesecke, Goldberg i Ding (2007), aby uzyskać szczegółowe informacje.

Schönbucher (2006) w schemacie odgórnym tworzy niejednorodny w czasie łańcuch Markowa współczynników przejścia. Domyślna korelacja jest wprowadzana przez zmiany zmienności kursów przejściowych. W przypadku niektórych konstelacji parametrów wyższa zmienność oznacza szybsze przejście do niższych stanów domyślnych, aw konsekwencji implikuje wyższą korelację niewypłacalności i odwrotnie. Podobnie Hurd i Kuznetsov (2006a) i (2006b) indukują korelację przez losową zmianę prędkości czasu. Większa prędkość czasu oznacza szybsze przejście do niższego stanu, prawdopodobnie domyślnego, aw rezultacie zwiększa domyślną korelację i odwrotnie. Aby zapoznać się z analizą porównawczą podejść korelacyjnych w finansach, zob. Albanese, Li, Lobachevskiy i Meissner (2010).