Kreatywność wielomianowa

W teorii złożoności obliczeniowej kreatywność wielomianowa jest teorią analogiczną do teorii zbiorów kreatywnych w teorii rekurencji i logice matematycznej . Zestawy $których$ kreatywne to rodzina języków formalnych w klasie złożoności NP, uzupełnienia z pewnością nie mają $})}$ k niedeterministyczne algorytmy rozpoznawania. Powszechnie uważa się, że NP jest nierówne co-NP (klasa dopełnień języków w NP), co mocniej implikowałoby, że dopełnienia wszystkich języków NP-zupełnych nie mają niedeterministycznych algorytmów rozpoznawania w czasie wielomianowym. Jednak w przypadku $-twórczych$ pozostaje można udowodnić brak (bardziej ograniczonego) algorytmu rozpoznawania, podczas gdy dowód, że NP ≠ co-NP nieuchwytny.

zbiory $-twórcze$ . tworzą kontrprzykłady dla hipotezy Bermana – Hartmanisa o izomorfizmie zbiorów NP- Sprawdzenie, czy łańcuch wejściowy należy do któregokolwiek z tych języków, jest NP-zupełne, ale nie są znane żadne wielomianowe izomorfizmy czasowe między wszystkimi takimi językami a innymi językami NP-zupełnymi. Kreatywność $-twórcze$ Deborah i zestawy zostały wprowadzone w 1985 roku przez Joseph i Paul Young, po wcześniejszych próbach zdefiniowania analogów wielomianowych dla zestawów kreatywnych przez Ko i Moore'a.

Definicja

Intuicyjnie zbiór jest kreatywny, gdy istnieje algorytm czasu wielomianowego, który tworzy kontrprzykład dla dowolnego kandydata na szybki niedeterministyczny algorytm rozpoznawania jego uzupełnienia.

Klasy szybkich niedeterministycznych algorytmów rozpoznawania zostały sformalizowane przez Josepha $Younga$$zbiory$ niedeterministycznych programów maszynowych wejścia , które $akceptują$ , mają ścieżkę akceptacji z liczbą kroków, która jest co ${\ Displaystyle | p | (| x | ^ {k} + 1)}$ . Notację tę należy odróżnić od notacji dla klasy złożoności NP. Klasa złożoności NP to zbiór języków formalnych, podczas gdy $jest$ zbiorem programów, które akceptują niektóre $}$ jest rozpoznawany przez program w jednym ze zbiorów , z $operatorname {NP} ^ {(k)}$ ) to znaczy (do współczynnika $w$ granicy liczby kroków) wykładnika w wielomianowym .

Zgodnie z teorią Josepha i Younga język $}$ NP jest $L$ że , jeśli można znaleźć świadka wykazującego, dopełnienie nie jest rozpoznawane przez żadnego $\ displaystyle L$ program w ${\ Displaystyle \ operatorname {NP} ^ {(k)}}$ . Bardziej formalnie, powinna istnieć funkcja obliczalna wielomianowo ${\ displaystyle f}$ która odwzorowuje programy w tej klasie na wejścia, na których zawodzą. ${\ Displaystyle x = f (p)}$$niedeterministyczny$ program $p$ ) , funkcja ciąg wejściowy $\ displaystyle$ , który albo należy do ${\ displaystyle L}$ i powoduje, że program akceptuje x $\ displaystyle x}$ lub nie należy do $,$ odrzuca $.$ powoduje program Funkcja $}$ jest funkcją produktywną dla ${\ displaystyle L$ . Jeśli ta funkcja produkcyjna istnieje, dopełnienia $.$ jakiego program nie wywołuje zachowania na wejściu, $oczekiwać$ od programu do rozpoznawania

Istnienie

Joseph i Young definiują wielomianową funkcję czasu jako wielomianowo uczciwą $,$ jeśli jej czas działania jest co najwyżej wielomianową funkcją długości wyjściowej To uniemożliwia na przykład funkcje, które wymagają czasu wielomianu, ale dają wyniki krótsze niż długość wielomianu. Jak pokazują, $jest$ wielomianowo uczciwa funkcja jeden do jednego produktywną funkcją dla $Displaystyle K_ {f} ^ {k$ -twórczego języka $}$ .

Biorąc pod uwagę $f$ Joseph $(p$ Young definiują jako zbiór wartości dla programów niedeterministycznych. $\displaystyle p}$$}$$)$ , które mają akceptującą ścieżkę dla ${\ displaystyle f (p)}$ używając co najwyżej ${\ textstyle | p | (| f (p) | ^ {k} +1)}$ kroków. Ta liczba kroków (na tym wejściu) byłaby zgodna z przynależnością do $\ textstyle \ operatorname {NP} ^ {(k)$ { $k$ Wtedy $}}$$k$ do NP, dla danego wejścia niedeterministycznie odgadnąć oba $displaystyle p}$ i jego ścieżka akceptująca, a następnie sprawdź, czy dane wejściowe są równe $displaystyle$ czy ścieżka jest poprawna dla $p (p)}$ .

K $^ {k}}$ { \ $textstyle K_$ , $} ^ {(k)}}$ jest z $produkcyjną$ , ponieważ każdy program $P.$$f (p)}$ jest odwzorowywany przez wartość $Displaystyle$ , która jest albo akceptowana przez ${\ Displaystyle p}$ (a zatem również należy do ${\ Displaystyle K_ {f} ^ {k}}$ ) lub odrzucony przez (a zatem również nie należy do ${\ Displaystyle$ ). $}$

Kompletność

Każdy $-twórczy$ . zestaw z wielomianowo uczciwą funkcją produkcyjną jest NP- Dla każdego innego języka w $NP ,$$x} }$ z definicją NP, można przetłumaczyć dowolne wejście dla ${\ displaystyle X$$}$ na program niedeterministyczny , który ignoruje własne dane wejściowe i zamiast tego szuka świadka , x $\ displaystyle x$ } akceptowanie jego danych wejściowych, jeśli je znajdzie, i odrzucanie w przeciwnym razie. Długość $p_ {x}$ wielomianem wielkości i można użyć argumentu dopełnienia , aby $p$ wystarczająco długi (ale nadal wielomianowy) $displaystyle$ ) przez czas trwania, aby zakwalifikować się do członkostwa w ${\ Displaystyle \ operatorname {NP} ^ {(k)}}$ . niech fa $\ displaystyle f}$ $będzie$ zestawu produktywną funkcją używaną do zdefiniowania danego $displaystyle$ i niech będzie z ${ \$$x}$ na $p_ {x}}$ . Następnie kompozycja z $odwzorowuje$ dane wejściowe $X$$}$ displaystyle na kontrprzykłady dla algorytmów testujących te dane wejściowe. Ta kompozycja odwzorowuje dane wejściowe, które należą do łańcuchów, które należą do $}$ . , a $,$ które nie należą do, na ciągi, które nie należą $displaystyle$$}$$L$ Jest to zatem wielomianowa redukcja w czasie wielomianowym z do $L}$ . $displaystyle$ Ponieważ $definicji$ ) w NP, a każdy inny język w NP ma do niego redukcję, musi być NP-zupełny.

$,$ -twórczego że istnieje odwracalna oszczędna redukcja do .

Zastosowanie do hipotezy Bermana-Hartmanisa

Hipoteza Bermana – Hartmanisa stwierdza, że ​​​​istnieje izomorfizm w czasie wielomianowym między dowolnymi dwoma zbiorami NP-zupełnymi: funkcja, która odwzorowuje instancje tak jednego takiego zestawu jeden do jednego na instancje tak drugiego, zajmuje czas wielomianu, i którego funkcję odwrotną można również obliczyć w czasie wielomianowym. Został sformułowany przez Leonarda C. Bermana i Jurisa Hartmanisa w 1977 roku na podstawie obserwacji, że wszystkie znane wówczas zbiory NP-zupełne były izomorficzne. Równoważnym sformułowaniem hipotezy jest to, że każdy zbiór NP-zupełny jest dopełniany . Oznacza to, $tak$ transformacja jeden-do-jednego w czasie wielomianowym i wielomianowym w instancji $większego$ tak -instancje, które kodują „nieistotne” informacje ${\ displaystyle y}$ .

Jednak nie wiadomo, jak znaleźć taką transformację wypełnienia dla kreatywnego $jest$ odwracalna w czasie wielomianowym. Dlatego też, jeśli istnieją permutacje jednokierunkowe , $-twórcze , w których te permutacje są ich funkcjami produkcyjnymi,$ dostarczają kandydujących kontrprzykładów dla hipotezy Bermana-Hartmanisa .

(Nieudowodniona) hipoteza Josepha-Younga formalizuje to rozumowanie. Przypuszczenie $.$ że ​​​​istnieje jednokierunkowa funkcja zwiększająca długość $,$ że ​​nie można jej wypełnić Alan Selman $\ operatorname {SAT}}$ , że implikowałoby to prostsze przypuszczenie, zaszyfrowany pełny zestaw przypuszczeń : istnieje funkcja jednokierunkowa taka, że $displaystyle$$tak$ zbiór przypadków dla spełnialności i izomorficzne Istnieje wyrocznia , względem której istnieją funkcje jednokierunkowe, oba te przypuszczenia są fałszywe, a hipoteza Bermana-Hartmanisa jest prawdziwa.