Kredyt hipoteczny z ciągłą spłatą

Wpływ zarabiania 20% rocznych odsetek od początkowej inwestycji o wartości 1000 USD przy różnych częstotliwościach łączenia

Analogicznie do kapitalizacji ciągłej , renta ciągła jest rentą zwykłą , w której interwał płatności jest zawężany w nieskończoność. (Teoretyczny) kredyt hipoteczny o ciągłej spłacie to kredyt hipoteczny spłacany w formie renty ciągłej.

₀ Kredyty hipoteczne (tj. kredyty hipoteczne) są na ogół rozliczane przez okres lat poprzez serię stałych, regularnych płatności, powszechnie określanych jako renta dożywotnia . Każda płatność kumuluje odsetki składane od momentu złożenia depozytu do końca okresu kredytowania, w którym to momencie suma płatności wraz z ich skumulowanymi odsetkami jest równa wartości pożyczki wraz z odsetkami kapitalizowanymi przez cały okres. Biorąc pod uwagę pożyczkę P , okresową stopę procentową i , liczbę okresów n i stałą spłatę okresową x , równanie bilansujące na koniec okresu wygląda następująco:

${\ Displaystyle P_ {0} (1 + ja) ^ {n }=\suma _{k=1}^{n}x(1+i)^{nk}={\frac {x[(1+i)^{n}-1]}{i}}}$

Sumowanie można obliczyć za pomocą standardowego wzoru na sumowanie ciągu geometrycznego .

₀ W hipotece (teoretycznie) z ciągłą spłatą interwał spłaty jest zawężany w nieskończoność, aż proces dyskretnych interwałów stanie się ciągły, a płatności w ustalonych odstępach czasu staną się - w efekcie - dosłownym „przepływem” gotówki o stałej rocznej stopie. W tym przypadku, biorąc pod uwagę pożyczkę P , roczną stopę procentową r , okres kredytowania T (lata) i stopę roczną Ma , nieskończenie małe elementy przepływów pieniężnych M _a δt kumulują odsetki składane w sposób ciągły _od czasu t do końca okresu kredytowania, w którym to momencie równanie bilansujące to:

${\ Displaystyle P_ {0} e ^ {rT} = \ int \ ograniczenia _ {0} ^ {T} M_ {a} e ^ {r (Tt)} \, dt = {\ Frac {M_ {a} ( e^{rT}-1)}{r}}.}$

Sumowanie elementów przepływów pieniężnych i skumulowanych odsetek odbywa się poprzez integrację, jak pokazano. Przyjmuje się, że okres kapitalizacji i okres spłaty są równe, tzn. kapitalizacja odsetek następuje zawsze w tym samym czasie, gdy następuje potrącenie płatności.

W przedziale czasowym kredytu funkcja ciągłego salda kredytu hipotecznego podlega liniowemu równaniu różniczkowemu pierwszego rzędu (LDE), a alternatywne jego wyprowadzenie można uzyskać, rozwiązując LDE metodą transformat Laplace'a .

Zastosowanie równania daje szereg wyników istotnych dla procesu finansowego, który opisuje. Chociaż ten artykuł koncentruje się głównie na kredytach hipotecznych, zastosowane metody są odpowiednie dla każdej sytuacji, w której spłata lub oszczędzanie odbywa się poprzez regularny strumień płatności w ustalonych odstępach czasu (renta).

Wyprowadzenie równania ciągłego w czasie

Klasyczny wzór na wartość bieżącą szeregu n stałych kwot miesięcznych płatności x zainwestowanych przy miesięcznej stopie procentowej i % to:

${\ Displaystyle P_ {v} (n) = {\ Frac {x (1- (1 + i) ^ {- n})} {I}}}$

₀ Formułę można przerobić tak, aby wyznaczała miesięczną ratę x pożyczki na kwotę P zaciągniętej na okres n miesięcy przy miesięcznej stopie procentowej równej i %:

${\ Displaystyle x = {\ Frac {P_ {0} \ cdot i} {1- (1 + ja) ^ {- n}}}}$

Zaczynamy od małej korekty wzoru: zamień i na r / N , gdzie r to roczna stopa oprocentowania, a N to roczna częstotliwość okresów kapitalizacji ( N = 12 dla płatności miesięcznych). Zamień również n na NT , gdzie T to całkowity okres kredytowania w latach. W tej bardziej ogólnej postaci równania obliczamy x ( N ) jako stałą płatność odpowiadającą częstotliwości N. Na przykład, jeśli N = 365, x odpowiada dziennej stałej płatności. Gdy N wzrasta, x ( N ) maleje, ale iloczyn N · x ( N ) zbliża się do wartości granicznej, jak zostanie to pokazane:

${\ Displaystyle x (N) = {\ Frac {P_ {0} \ cdot r} {N (1- (1+) {\ Frac {r} {N}}} ^ {-NT}}}}}$

${\ Displaystyle N \ cdot x (N )={\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}}$

Zauważ, że N · x ( N ) to po prostu kwota płacona rocznie – w efekcie roczna stopa spłaty M _a .

Dobrze wiadomo, że:

${\ Displaystyle \ lim _ {N \ do \ infty} \ lewo (1 + {\ Frac {r} {N}} \ prawej) ^ {Nt }=e^{rt}}$

Stosując tę ​​samą zasadę do wzoru na roczną spłatę, możemy wyznaczyć wartość graniczną:

${\ Displaystyle M_ {a} = \ lim _ {N \ do \ infty} N \ cdot x (N) = \ lim _ {N \ do \ infty} {\ Frac {P_ {0} \ cdot r} {1 -(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}.}$

W tym momencie ortodoksyjnego wzoru na wartość obecną ta ostatnia jest lepiej reprezentowana jako funkcja rocznej częstotliwości łączenia N i czasu t :

${\ Displaystyle P_ {v} (N, t) = {\ Frac {N \ cdot x ( N)(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-Nt})}{r}}}$

Stosując wyrażenie ograniczające opracowane powyżej, możemy zapisać wartość obecną jako funkcję czysto zależną od czasu:

${\ Displaystyle P_ {v} (t) = \ lim _ {N \ do \ infty} P_{v}(N,t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})}$

Rysunek 1

Zauważając, że saldo należne P ( t ) od pożyczki t lat po jej zaciągnięciu jest po prostu obecną wartością składek za pozostały okres (tj. T − t ), wyznaczamy:

${\ Displaystyle P (t) = {\ frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(Tt)})={\frac {P_{0}(1-e^{-r(Tt)})}{1- e^{-rT}}}}$

Wykres(y) na diagramie to porównanie salda należnego z tytułu kredytu hipotecznego (1 milion na 20 lat @ r = 10%) obliczonego po pierwsze zgodnie z powyższym modelem ciągłym w czasie, a po drugie przy użyciu funkcji Excel PV. Jak widać krzywe są praktycznie nie do odróżnienia – obliczenia wykonane przy pomocy modelu różnią się od tych wykonanych przy pomocy funkcji Excel PV zaledwie o 0,3% (max). Dane, z których pochodzą wykresy, można obejrzeć tutaj.

Porównanie z podobnymi systemami fizycznymi

Zdefiniuj zmienną „odwrotnego czasu” z = T − t . ( t = 0, z = T i t = T , z = 0). Następnie:

₀ Wykreślona na osi czasu znormalizowanej do stałej czasowej systemu ( odpowiednio τ = 1/ r lat i τ = RC sekund) funkcja salda kredytu hipotecznego w CRM (zielona) jest lustrzanym odbiciem krzywej odpowiedzi skokowej dla obwodu RC (niebieska) .Oś pionowa jest znormalizowana do asymptoty układu tj. wartości wieczności M _a /r dla CRM i przyłożonego napięcia V dla obwodu RC.

${\ Displaystyle P (z) = {\ Frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {-rz}).}$

Można to uznać za rozwiązanie równania różniczkowego „odwrotnego czasu”:

${\ Displaystyle {\ Frac {M_ {a}}} {r}} = {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {dP (z)} {dz}} + P (z).}$

Inżynierowie elektrycy/elektronicy i fizycy będą zaznajomieni z równaniem tego rodzaju: jest to dokładny odpowiednik równania różniczkowego, które rządzi (na przykład) ładowaniem kondensatora w obwodzie RC.

${\ Displaystyle V_ {0} = RC {\ Frac {dV (t)} {dt}} + V (t).}$

Kluczowe cechy takich równań są szczegółowo wyjaśnione w sekcji Obwody RC . Dla właścicieli domów z kredytami hipotecznymi ważnym parametrem, o którym należy pamiętać, jest stała czasowa równania, która jest po prostu odwrotnością rocznej stopy procentowej r . Tak więc (przykładowo) stała czasowa przy stopie procentowej 10% wynosi 10 lat, a okres kredytowania domu należy określić – w granicach możliwości finansowych – jako minimalną wielokrotność tego, jeśli celem jest minimalizacja odsetek płaconych od kredyt.

Różnica hipoteczna i równanie różniczkowe

Konwencjonalne równanie różnicowe dla kredytu hipotecznego jest stosunkowo proste do wyprowadzenia - saldo należne w każdym kolejnym okresie to poprzednie saldo powiększone o odsetki za okres pomniejszone o stałą płatność za okres.

Mając roczną stopę procentową r i pożyczkobiorcę o rocznej zdolności płatniczej M _N (podzielonej na N równych spłat dokonywanych w odstępach czasu Δ t , gdzie Δ t = 1/ N lat), możemy zapisać:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P_ {t + \ Delta t}&=P_{t}+(rP_{t}-M_{N})\Delta t\\[12pt]{\dfrac {P_{t+\Delta t}-P_{t}}{\Delta t} }&=rP_{t}-M_{N}\end{wyrównane}}}$

Jeśli N zwiększa się w nieskończoność, tak że Δ t → 0, otrzymujemy równanie różniczkowe czasu ciągłego:

${\ Displaystyle {\ nazwa operatora {d} P (t) \ nad \ nazwa operatora {d} t} = rP (t) -M_ {a} }$

Zauważ, że aby saldo kredytu hipotecznego stale się zmniejszało, musi zachodzić następująca nierówność:

${\ Displaystyle P_ {0} \ leqslant {\ Frac {M_ {a}} {r}}}$

₀ P jest tym samym, co P (0) – pierwotna kwota kredytu lub saldo kredytu w czasie t = 0.

Rozwiązywanie równania różnicowego

Zaczynamy od przepisania równania różnicowego w postaci rekurencyjnej:

${\ Displaystyle P_ {t + \ Delta t} = P_ {t} (1 + r \ Delta t) -M_ {N} \ Delta T\;}$

Wykorzystując notację P _n do wskazania salda hipoteki po n okresach, możemy iteracyjnie zastosować relację rekurencji do wyznaczenia P ₁ i P ₂ :

${\ Displaystyle P_ {1} = P_ {0} (1 + r \ Delta t) -M_ {N} \ Delta t \;}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P_ {2} i = [P_ {0} (1 + r \ Delta t) -M_ {N} \ Delta t] (1 + r \ Delta t) - M_{N}\Delta t\\&=P_{0}(1+r\Delta t)^{2}-M_{N}\Delta t(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\koniec {wyrównane}}}$

Już widać, że wyrazy zawierające M _N tworzą szereg geometryczny o wspólnym stosunku 1 + r Δ t . To pozwala nam napisać ogólne wyrażenie dla P _n :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P_ {n} i = P_ {0} (1 + r \ Delta t) ^ {n} - \ suma _ {k = 1}^{n}M_{N}\Delta t(1+r\Delta t)^{nk}\\&=P_{0}(1+r\Delta t)^{n}-{\dfrac { M_{N}\Delta t[(1+r\Delta t)^{n}-1]}{r\Delta t}}\end{wyrównane}}}$

Na koniec zauważając, że r Δ t = i okresowa stopa procentowa i płatność okresowa, wyrażenie można zapisać w konwencjonalnej formie: ${\ Displaystyle M_ {N} \ Delta t = x}$

${\ Displaystyle P_ {n} = P_ {0} (1 + ja) ^ {n} - {\ dfrac {x [(1+i)^{n}-1]}{i}}}$

Jeżeli okres kredytowania wynosi m okresów, to P _m = 0 i otrzymujemy standardową formułę wartości bieżącej:

${\ Displaystyle P_ {0} = {\ dfrac {x [1- (1 + i) ^ {- m}]} {i}}}$

Rozwiązywanie równania różniczkowego

${\ Displaystyle {\ nazwa operatora {d} P (t) \ nad \ nazwa operatora {d} t} = rP (t) -M_ {a} }$

Jedną z metod rozwiązania równania jest uzyskanie transformaty Laplace'a P ( s ):

${\ Displaystyle P (s) = {\ Frac {M_ {a}} {s (rs)}} = {\ Frac {M_ {a}} {r}} \ razy {\ Frac {(-r)} s(sr)}}.}$

Korzystając z tabeli transformat Laplace'a i ich odpowiedników w dziedzinie czasu, P ( t ) można wyznaczyć:

${\ Displaystyle P (t) = {\ Frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {rt}).}$

Aby dopasować to rozwiązanie do poszczególnych punktów początkowych i końcowych funkcji hipoteki, musimy wprowadzić przesunięcie czasowe o T lat ( T = okres kredytowania), aby funkcja osiągnęła zero na koniec okresu kredytowania:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i P (t) = {\ Frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^{r(tT)})\\[8pt]&P_{0}={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})\strzałka w prawo {\frac {M_{a }}{r}}={\frac {P_{0}}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\strzałka w prawo &P(t)={\frac {P_{0}(1- e^{-r(Tt)})}{1-e^{-rT}}}\end{wyrównane}}}$

Należy zauważyć, że zarówno oryginalne rozwiązanie, jak i wersja „przesunięta w czasie” spełniają oryginalne równanie różniczkowe, z którego oba pochodzą.

Podobnie do wyrażenia wyprowadzonego powyżej dla P _n w równaniu różniczkowym, wyrażenie dla P ( t ) można zapisać w następującej algebraicznie równoważnej postaci:

${\ Displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt} - {\ Frac {M_ {a}} {r} }(e^{rt}-1)}$

Obliczanie skumulowanych spłat odsetek i kapitału

Układając ponownie pierwotne równanie różniczkowe, otrzymujemy:

${\ Displaystyle M_ {a} = rP (t) - {\ Frac {dP (t)} {dt}}}$

Całkowanie obu stron równania daje:

${\ Displaystyle M_ {a}. t = \ int _ {0} ^ {t} rP (t) \, dt \,-\int _{0}^{t}{\frac {dP(t)}{dt}}\,dt\,}$

Pierwsza całka po prawej stronie określa skumulowane płatności odsetek od momentu powstania do czasu t, podczas gdy druga określa skumulowane płatności kapitału w tym samym okresie. Suma tych spłat odsetek i kapitału musi być równa skumulowanym stałym płatnościom w czasie tj . M _a t . Oceniając pierwszą całkę po prawej stronie otrzymujemy wyrażenie na I ( t ), zapłacony procent:

${\ Displaystyle I (t) = M_ {a} t - {\ Frac {M_ {a} (e ^ {rt} -1)}{re^{rT}}}}$

₀ Nic dziwnego, że druga całka daje P - P ( t ), a zatem:

${\ Displaystyle I (t) = M_ {a} t-P_ {0} + P (t) \,}$

Czytelnik może łatwo sprawdzić, że to wyrażenie jest algebraicznie identyczne z powyższym.

Czynnik kosztów pożyczki

Koszt pożyczki to po prostu roczna stopa pomnożona przez okres kredytowania:

${\ Displaystyle C = M_ {a} T = {\ Frac {P_ {0} rT} {1-e ^ {- rT}}}}$

₀ Niech s = rT . Następnie możemy zdefiniować współczynnik kosztu kredytu C ( s ) taki, że C = P C (s), czyli: C ( s ) jest kosztem jednostki pożyczonej waluty.

${\ Displaystyle C (s) = {\ Frac {rT} {1-e ^ {- rT}}} = {\ Frac { s}{1-e^{-s}}}}$

₀ Funkcja C ( s ) charakteryzuje się tym, że ma wartość graniczną 1, gdy s jest bliskie zeru, ponieważ dla małych wartości s exp(− s ) ≈ 1 − s i mianownik upraszcza się do s . Również gdy s jest bardzo duże, exp(− s ) jest małe, więc C ( s ) ≈ s , a więc koszt kredytu C ≈ P rT ( rT >> 0).

Jako przykład rozważ pożyczkę w wysokości 1 000 000 z 10% spłatą w ciągu 20 lat. Wtedy s = 0,1 × 20 = 2.

${\ Displaystyle C = 1000000 \ razy {\ Frac {2} {1-e ^ {-2}}} \ około 2,313 \ razy 10 ^ {6} }$

₀ Produkt rT jest łatwym do uzyskania, ale ważnym parametrem przy określaniu kosztu kredytu, zgodnie z równaniem C=P xC(s). Najlepiej ilustruje to wykreślenie funkcji współczynnika kosztu dla wartości s w domenie [0;5]. Liniowe zachowanie funkcji dla wyższych wartości s jest jasne.

Równoważny prosty czynnik kosztu odsetek

W przypadku pożyczki na czas określony t lat możemy porównać powyższy czynnik kosztu pożyczki z równoważnym prostym czynnikiem kosztu odsetek 1+s _e , gdzie s _e = r _e t , a r _e jest równoważną prostą stopą procentową:

${\ Displaystyle {\ Frac {s} {1-e ^ {- s}}} = 1 + s_ {e}}$

Łatwo jest określić s _e na podstawie s. Dzielenie przez okres pożyczki t da wtedy równoważną prostą stopę procentową. Większym wyzwaniem jest odwrotne wyznaczenie s danego s _e .

W swojej książce Problem Solving with True Basic dr BD Hahn zawiera krótki rozdział na temat niektórych schematów „sprzedaży ratalnej”, w których odsetki naliczane są z góry w postaci jednej kwoty ryczałtowej, która jest dodawana do kwoty kapitału, a suma ta jest równo dzielona na okres spłaty. Kupujący często jednak odnosi wrażenie, że odsetki naliczane są od salda zmniejszającego.

Powyższy przykład jest adaptacją przykładu podanego w książce dr Hahna, w której wykorzystuje on algorytm Newtona-Raphsona do rozwiązania tego samego problemu, aczkolwiek dla dyskretnej spłaty pożyczki (tj. miesięcznej) w tym samym okresie (3 lata). Podobnie jak w przypadku wielu podobnych przykładów, problem przedziału dyskretnego i jego rozwiązanie są ściśle przybliżone obliczeniami opartymi na modelu ciągłej spłaty - rozwiązanie dr Hahna dla stopy procentowej wynosi 40,8% w porównaniu do 41,6% obliczonych powyżej.

Okres pożyczki

Jeśli pożyczkobiorcę stać na roczną stopę spłaty Ma , to możemy przeorganizować wzór do obliczania Ma _, aby otrzymać wyrażenie na okres T danej pożyczki P _{: 0}

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i M_ { a}={\frac {P_{0}r}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\strzałka w prawo &T={\frac {1}{r}}\ln {\frac {M_ {a}}{M_{a}-P_{0}r}}=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a }}}\prawo)\end{wyrównane}}}$

Minimalny współczynnik płatności

Minimalny wskaźnik spłaty pożyczki to stosunek minimalnej możliwej stopy spłaty do rzeczywistej stopy spłaty. Minimalna możliwa stopa spłaty to taka, która pokrywa tylko odsetki od pożyczki – pożyczkobiorca teoretycznie spłacałby tę kwotę w nieskończoność, ponieważ nigdy nie dochodzi do zmniejszenia kapitału pożyczkowego. Będziemy używać litery k do oznaczenia minimalnego wskaźnika płatności:

${\ Displaystyle k = {\ Frac {M_ {\ min}} {M_ {a}}} = {\ Frac {P_ {0} r} {M_ {a}} }}$

Teraz możemy rozważyć małe przekształcenie równania dla okresu kredytowania T :

${\ Displaystyle T = - {\ Frac {1} {r}} \ ln \ lewo (1- {\ Frac {P_ {0} r} {M_ {a}}} \ prawej)}$

${\ Displaystyle rT = s (k) = - \ ln (1-k) \;}$

Wykreślenie s ( k ) względem k daje bardzo graficzną demonstrację, dlaczego dobrym pomysłem jest utrzymywanie wartości k znacznie poniżej asymptoty przy k = 1, ponieważ w jej pobliżu s ( k ) gwałtownie rośnie, a zatem koszt kredytu co z kolei jest rosnącą funkcją parametru s ( iloczyn rT ).

„Okres półtrwania” pożyczki

Przydatnym parametrem modelu hipotecznego jest „okres półtrwania” kredytu, czyli czas potrzebny, aby saldo kredytu osiągnęło połowę pierwotnej wartości. Aby określić „okres półtrwania”, możemy napisać:

${\ Displaystyle {\ Frac {P (t)} {P_ {0}}} = {\ Frac {1 }{2}}={\frac {1-e^{-r(Tt)}}{1-e^{-rT}}}}$

Rozwiązując dla t otrzymujemy:

${\ Displaystyle t _ {\ Frac {1} {2}} = {\ Frac {1} {r}} \ ln \ lewo ({\ Frac { 1+e^{rT}}{2}}\prawo)}$

Na przykład, stosując wzór do niektórych danych testowych (pożyczka w wysokości 1 miliona na 10% na 20 lat) otrzymujemy okres półtrwania wynoszący 14,34 lat. Jeżeli w praktyce kredyt spłacany jest w ratach miesięcznych, to część dziesiętną można przeliczyć na miesiące i zaokrąglić tak, aby ta odpowiedź równała się 172 miesiącom.

Obliczanie stopy procentowej

W modelu dyskretnych przedziałów czasowych obliczenie oprocentowania kredytu hipotecznego przy pozostałych parametrach nie było możliwe metodami analitycznymi. Implementacje, takie jak funkcja „stopy” programu Excel, wykorzystują numeryczną metodę „prób i ulepszeń” w celu określenia stopy procentowej. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że tak jest również w przypadku modelu ciągłej spłaty. Dany:

${\ Displaystyle P_ {0} = {\ Frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {- rT})}$

możemy napisać:

${\ Displaystyle rP_ {0} = M_ {a} (1-e ^ {-rT}) \,}$

${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo rP_ {0} -M_ {a} + M_ {a} e ^ {-rT} = 0}$

Rysunek 1

₀ Aby zobrazować powyższe jako funkcję r (dla której chcemy wyznaczyć zera), pomocne będzie wybranie wartości liczbowych P , Ma _i T odpowiednio jako 10000, 6000 i 3 i wykreślenie, jak pokazano po prawej stronie . Funkcja ma minimalną wartość, którą można wyznaczyć przez różniczkowanie:

${\ Displaystyle f' (r) = 0 \,}$

${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo P_ {0} -M_ {a} Te ^ {-rT} = 0}$

${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo r = {\ Frac {1} {T}} \ ln {\ Frac {M_ {a} T} {P_ {0}}} }$

Ponieważ funkcja jest w przybliżeniu paraboliczna między pierwiastkami przy r = 0 a poszukiwaną wartością, możemy oszacować wymagany pierwiastek jako:

${\ Displaystyle r \ około {\ Frac {2} {T}} \ ln {\ Frac {M_ {a} T} {P_ {0}}}}$

Wykorzystując to jako punkt wyjścia, coraz dokładniejsze wartości pierwiastka można określić przez powtarzane iteracje algorytmu Newtona -Raphsona :

${\ Displaystyle r_ {1} = r_ {0} - {\ Frac {f (r_ {0})} {f' (r_ {0})}}. \, \!}$

₀ Niektóre eksperymenty na Wolfram Alpha ujawniają, że można uzyskać dokładne rozwiązanie analityczne wykorzystujące funkcję Lambert-W lub „dziennik produktu”. Zakładając s = M _a T / P otrzymujemy:

${\ Displaystyle R = {\ Frac {1} {T}} \ lewo (W (- se ^ {- s}) + s \ prawo)}$

W obszarze zainteresowania W (− se ^{− s} ) jest funkcją dwuwartościową. Pierwsza wartość to po prostu − s , co daje trywialne rozwiązanie r = 0. Druga wartość obliczona w kontekście powyższego wzoru zapewni wymaganą stopę procentową.

Poniższa tabela przedstawia obliczenie wstępnego oszacowania stopy procentowej, po którym następuje kilka iteracji algorytmu Newtona-Raphsona. Istnieje szybka zbieżność do rozwiązania z dokładnością do kilku miejsc po przecinku, co można potwierdzić w porównaniu z rozwiązaniem analitycznym przy użyciu funkcji Lambert W lub „productlog” w Wolfram Alpha.

Pożyczka ( P )	Okres ( T )	Roczna stopa płatności ( Ma )	Wstępne oszacowanie: 2 ln( MaT / P )/ T
10000	3	6000	39,185778%

Iteracje Newtona-Raphsona

N	r ( n )	fa [ r ( n )]	fa '[ r ( n )]
0	39,185778%	−229,57	4444.44
1	44,351111%	21.13	5241,95
2	43,948044%	0,12	5184.06
3	43,945798%	0	5183.74

Formuły wartości bieżącej i wartości przyszłej

Odpowiadając standardowemu wzorowi na wartość bieżącą szeregu stałych miesięcznych płatności, ustaliliśmy już analogię ciągłą w czasie:

${\ Displaystyle P_ {v} (t) = {\ Frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ {-rt}).}$

W podobny sposób można wyznaczyć formułę wartości przyszłej:

${\ Displaystyle F_ {v} (t) = {\ Frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} -1).}$

W tym przypadku roczna stopa M _a jest określana na podstawie określonego (przyszłego) docelowego funduszu oszczędnościowego lub funduszu amortyzacyjnego P _T w następujący sposób.

${\ Displaystyle M_ {a} = \ lim _ {N \ do \ infty} N \ cdot x (N) = \ lim _ {N \ do \ infty} {\ Frac {P_ {T} \ cdot r} {( 1+{\frac {r}{N}})^{NT}-1}}={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}.}$

Należy zauważyć, że zgodnie z oczekiwaniami:

${\ Displaystyle F_ {v} (t) = P_ {v} (t) \ razy e ^ {rt}. \,}$

Innym sposobem obliczenia salda należnego P ( t ) pożyczki o ciągłej spłacie jest odjęcie przyszłej wartości (w chwili t ) strumienia płatności od przyszłej wartości pożyczki (również w chwili t ):

${\ Displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt} - {\ Frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} -1).}$

Przykład

Poniższy przykład z podręcznika szkolnego zilustruje koncepcyjną różnicę między rentą oszczędnościową opartą na dyskretnych przedziałach czasowych (w tym przypadku na miesiąc) a rentą opartą na ciągłej płatności wykorzystującej powyższy wzór przyszłej wartości:

W swoje 30. urodziny inwestor decyduje, że chce zgromadzić 500 000 R500 000 do swoich 40. urodzin. Począwszy od miesiąca postanawia dokonywać równych miesięcznych wpłat na konto, które jest oprocentowane w wysokości 12% w skali roku z kapitalizacją miesięczną. Jakich miesięcznych płatności będzie musiał dokonywać?

Dla zwięzłości rozwiążemy problem „dyskretnego przedziału” za pomocą funkcji Excel PMT:

${\ Displaystyle x (12) = PMT (1 \$

Kwota wypłacana rocznie wynosiłaby zatem 26082,57.

Dla teoretycznej renty oszczędnościowej z ciągłą płatnością możemy obliczyć tylko roczną stopę płatności:

${\ Displaystyle M_ {a} = {\ Frac {500000 \ razy 12 \$

W tym momencie pojawia się pokusa, aby po prostu podzielić przez 12, aby uzyskać miesięczną płatność. Byłoby to jednak sprzeczne z podstawowym założeniem, na którym opiera się model „ciągłej płatności”, a mianowicie, że roczna stopa płatności jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle M_ {a} = \ lim _ {N \ do \ infty} N \ cdot x (N) \,}$

Ponieważ jest oczywiście niemożliwe, aby inwestor dokonał nieskończenie małej płatności nieskończenie wiele razy w roku, bank lub inna instytucja pożyczkowa, która chce oferować renty lub kredyty hipoteczne z „ciągłą płatnością”, w praktyce musiałby wybrać dużą, ale skończoną wartość N ( roczna częstotliwość płatności) tak, aby formuła czasu ciągłego zawsze była poprawna z pewnym minimalnym z góry określonym marginesem błędu. Na przykład stałe płatności godzinowe (obliczone przy użyciu konwencjonalnego wzoru) w tym przykładzie skumulowałyby się do rocznej płatności w wysokości 25861,07, a błąd wyniósłby < 0,02%. _margines błędu jest akceptowalny, stawkę godzinową można określić prościej, dzieląc Ma przez 365 × 24. (Hipotetyczna) instytucja pożyczkowa musiałaby wówczas zapewnić, że jej zasoby obliczeniowe są wystarczające do wdrożenia (w razie potrzeby) godzinowych potrąceń z rachunków klientów. Krótko mówiąc, „przepływ” gotówki w przypadku rent ciągłych należy rozumieć w bardzo dosłownym znaczeniu tego słowa.

„Pieniądze wpłacane do funduszu w świecie finansowym są wypłacane w dyskretnych – zwykle jednakowo rozmieszczonych – punktach w czasie kalendarzowym. W procesie ciągłym płatność jest dokonywana w sposób ciągły, tak jak można przelewać płyn z jednego pojemnika do drugiego, gdzie stawka płatności jest wielkością podstawową”.

Poniższa tabela pokazuje, jak wraz ze wzrostem N (częstotliwości rocznej kapitalizacji) roczna płatność zbliża się do wartości granicznej Ma , _czyli rocznej stopy płatności . Oblicza się różnicę (błąd) między płatnością roczną a wartością graniczną i wyraża jako procent wartości granicznej.

Okres złożony	Częstotliwość (N)	Stopa procentowa za okres	Płatność za okres x(N)	Oplata roczna	% Błąd
Odbywający się dwa razy w roku	2	6.000000%	13.592,28	27184,56	5,118918%
Kwartalny	4	3.000000%	6631,19	26.524,76	2,567558%
Miesięczny	12	1.000000%	2173,55	26.082,57	0,857683%
Codziennie	365	0,032877%	70,87	25.868,07	0,028227%
Cogodzinny	8760	0,001370%	2,95	25.861,07	0,001176%

Z powyższego jasno wynika, że ​​koncepcja kredytu hipotecznego „ciągłej spłaty” jest konstruktem nieco teoretycznym. Ekonomiści i aktuariusze musieliby dokładnie rozważyć, czy ma to wartość praktyczną, czy nie. należy jasno zrozumieć znaczenie rocznej stopy spłaty, jak pokazano w powyższym przykładzie.

Jednak model „ciągłych płatności” zapewnia pewien znaczący wgląd w zachowanie dyskretnej funkcji salda kredytu hipotecznego – w szczególności, że jest ona w dużej mierze regulowana przez stałą czasową równą odwrotności r nominalnej rocznej stopy procentowej. A gdyby kredyt hipoteczny miał być spłacany za pomocą stałych kwot dziennych, wówczas obliczenia należnego salda wykonane za pomocą modelu byłyby – na ogół – dokładne z dokładnością do małego ułamka procenta. Wreszcie model pokazuje, że zwiększanie częstotliwości spłat tam, gdzie jest to praktycznie możliwe, przynosi skromną korzyść posiadaczowi hipoteki.

Podsumowanie formuł i kalkulatorów online

Roczna stopa spłaty (kredyt hipoteczny): ${\ Displaystyle M_ {a} = \ lim _ {N \ do \ infty} N \cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}}$

Roczna stopa płatności (fundusz amortyzujący): ${\ Displaystyle M_ {a} = \ lim _ {N \ do \ infty} N \cdot x(N)={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}}$

        wartość przyszła: ${\ Displaystyle F_ {v} (t) = {\ Frac {M_ {a}} {r}} (e ^ {rt} - 1)}$

        wartość obecna: ${\ Displaystyle P_ {v} (t) = {\ Frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ { -rt})}$

        Saldo kredytu: ${\ Displaystyle P (t) = {\ Frac {M_ {a}} {r}} (1-e ^ { -r(Tt)})}$

               Okres wypożyczenia: ${\ Displaystyle T = - {\ Frac {1} {r}} \ ln \ lewo (1 - {\ Frac {P_ {0} r }{M_{a}}}\prawo)}$

        Okres półtrwania pożyczki: ${\ Displaystyle t _ {\ Frac {1} {2}} = {\ Frac {1} {r}} \ ln \ lewo({\frac {1+e^{rT}}{2}}\prawo)}$

                          Stopa procentowa: ${\ Displaystyle r \ około {\ Frac {2} {T}} \ ln {\ Frac {M_ {a} T} {P_ {0}}}}$${\ Displaystyle R = {\ Frac {1} {T}} \ lewo (W (- se ^ {- s}) +s\right){\text{ with }}s={\frac {M_{a}t}{P_{0}}}}$

Uniwersalny kalkulator hipoteczny . Biorąc pod uwagę dowolne trzy z czterech zmiennych, oblicza to czwartą (nieznaną) wartość.

Wykres hipoteczny . Ilustruje to charakterystyczną krzywą salda kredytu hipotecznego w funkcji czasu w danym okresie kredytowania. Można również określić kwotę pożyczki i oprocentowanie pożyczki ( p / a ). Dyskretna pożyczka interwałowa będzie miała bardzo podobną charakterystykę.

Notatki

•   Beckwith, RE (czerwiec 1968). „Ciągłe procesy finansowe”. Dziennik analizy finansowej i ilościowej . 3 (2): 113–133. JSTOR 2329786 .
• Georgia Institute of Technology; Hackmann, Steve. „Inżynieria finansowa: notatki z kursu ISyE 4803A” (PDF) . Georgia Institute of Technology . Źródło 2009-04-27 .
•   Glencross, MJ (2007). Matematyka: klasa 12 OBE . Skuteczne wydawcy nauczania, Cape Town, RSA. ISBN 978-1-920116-36-1 .
•   Munem, MA; Fałszywy DJ (1986). Algebra i trygonometria z zastosowaniami . Warto wydawców, USA. ISBN 0-87901-281-1 .
•   Hahn, Brian D. (1989). Rozwiązywanie problemów z True Basic . Juta & Company Limited, Kapsztad, Republika Południowej Afryki. ISBN 0-7021-2282-3 .

Bibliografia

•   Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics (1998, Wiley Publishers, USA), ISBN 0-471-15496-2 .