Kryteria formalne dla funktorów sprzężonych

W teorii kategorii , gałęzi matematyki, kryteria formalne dla funktorów sprzężonych są kryteriami istnienia lewego lub prawego sprzężenia danego funktora .

Jednym z kryteriów jest następujące, które po raz pierwszy pojawiło się w książce Petera J. Freyda z 1964 r. Kategorie Abelowe, wprowadzenie do teorii funktorów :

Twierdzenie o funktorze sprzężonym Freyda - Niech będzie funktorem między kategoriami takimi, że ${\ Displaystyle G: {\ mathcal {B}} \ do {\ mathcal {A}$$} }}$ jest zakończone. Następnie następujące są równoważne (dla uproszczenia ignorując kwestie teorii mnogości):

1. G ma lewy spójnik.
2. ${\ displaystyle G}$$zachowuje$ wszystkie granice i dla każdego obiektu w istnieje zbiór I i rodzina morfizmów indeksowana przez I ${i}}$${ \ Displaystyle f_ {i}$$postać$ taki, że każdy morfizm ma $displaystyle G ( y_ {i} \ do y) \ circ f_ {i}}$ dla pewnego morfizmu ${\ Displaystyle y_ {i} \ do y}$ .

Kolejnym kryterium jest:

$Niech$ istnienia lewego sprzężenia będzie funktorem kategoriami. Następnie następujące są równoważne.

1. G ma lewy spójnik.
2. G zachowuje granice i dla każdego obiektu x w , granica $(x \ downarrow G) \ do {\ mathcal {B}}}}}$$sol$ istnieje w ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ .
3. Właściwe rozszerzenie Kan ${\ displaystyle G_ {!} 1 _ {\ mathcal {B}}}$ funktora tożsamości ${\ displaystyle 1 _ {\ mathcal {B}}}$ wzdłuż G istnieje i jest zachowywany przez G .

Co więcej, w takim przypadku lewe sprzężenie G można obliczyć za pomocą lewego rozszerzenia Kan.

•   Mac Lane, Saunders (17 kwietnia 2013). Kategorie dla pracującego matematyka . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-4721-8 .