Kryterium Kołmogorowa

W teorii prawdopodobieństwa kryterium Kołmogorowa , nazwane na cześć Andrieja Kołmogorowa , jest twierdzeniem podającym warunek konieczny i wystarczający, aby łańcuch Markowa lub łańcuch Markowa w czasie ciągłym był stochastycznie identyczny z jego wersją odwróconą w czasie.

Łańcuchy Markowa w czasie dyskretnym

Twierdzenie stwierdza, że nieredukowalny, dodatnio rekurencyjny, aperiodyczny łańcuch Markowa z macierzą przejścia P jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego stacjonarny łańcuch Markowa spełnia

{\ Displaystyle p_ {j_ {1} j_ {2}} p_ {j_ {2} j_ {3}} \ cdots p_ {j_ {n-1} j_ {n}} p_ {j_ {n} j_ {1} }=p_{j_{1}j_{n}}p_{j_{n}j_{n-1}}\cdots p_{j_{3}j_{2}}p_{j_{2}j_{1}} }

dla wszystkich skończonych ciągów stanów

{\ Displaystyle j_ {1}, j_ {2}, \ ldots, j_ {n} \ w S.}

Tutaj p _ij są składnikami macierzy przejścia P , a S jest przestrzenią stanów łańcucha.

Przykład

Rozważmy ten rysunek przedstawiający odcinek łańcucha Markowa ze stanami i , j , k i l oraz odpowiadające im prawdopodobieństwa przejścia. Tutaj kryterium Kołmogorowa implikuje, że iloczyn prawdopodobieństw podczas przechodzenia przez dowolną zamkniętą pętlę musi być równy, więc iloczyn wokół pętli i do j do l do k powracający do i musi być równy pętli na odwrót,

{\ Displaystyle p_ {ij} p_ {jl} p_ {lk} p_ {ki} = p_ {ik} p_ {kl} p_ {lj} p_ {ji}.}

Dowód

Niech będzie łańcuchem Markowa i oznaczmy przez $jego$ $rozkład stacjonarny (taki$ , ponieważ łańcuch jest dodatnio powtarzalny)

Jeśli łańcuch jest odwracalny, równość wynika z relacji $} = {\ Frac {\ pi _ {i} p_ {ij}} {\ pi _ {j}}}}$ .

Załóżmy teraz, że równość jest spełniona. Napraw stany $\$ t $displaystyle t}$ . Następnie

{\ Displaystyle {\ tekst {P}} (X_ {n + 1} = t, X_ {n} = ja_ {n}, \ ldots, X_ {0} = s | X_ {0} = s)}

{\ Displaystyle = p_ {si_ {1}} p_ {i_{1}i_{2}}\cdots p_{i_{n}t}}

{\ Displaystyle = {\ Frac {p_ {st}} {p_ {ts}}} p_ {ti_ {n}} p_ {i_ {n} i_ {n-1}} \ cdots p_ {i_ {1} s}}

{\ Displaystyle = {\ Frac {p_ {st}}} p_{ts}}}{\text{P}}(X_{n+1}}

{\ Displaystyle = s, X_ {n}}

{\ Displaystyle = i_ {1}, \ ldots, X_ {0} = t | X_ {0} = t)}

.

Teraz zsumuj obie strony ostatniej równości dla wszystkich możliwych uporządkowanych wyborów $stanów$ ja ${1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {n }}$ . W ten sposób otrzymujemy ${\ Displaystyle p_ {st} ^ {(n)} = {\ Frac {p_ {st}} {p_ {ts} }}p_{ts}^{(n)}}$ więc ${\ Displaystyle {\ Frac {p_ {st} ^ {(n)}} {p_ {ts} ^ {(n)}} }={\frac {p_{st}}{p_{ts}}}}$ . Wyślij ${\ displaystyle n}$ do ${\ displaystyle \ infty}$ po lewej stronie ostatniego. Z własności łańcucha wynika, ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} p_ {ij} ^ {(n)} = \ pi _ {j}}, stąd π$ t $Displaystyle {\frac {\pi _{t}}{\pi _{s}}}={\frac {p_{st}}{p_{ts}}}} co pokazuje, że łańcuch jest odwracalny$ .