Kryterium Li

W teorii liczb kryterium Li jest szczególnym stwierdzeniem o dodatniości pewnego ciągu, które jest równoważne z hipotezą Riemanna . Kryterium nosi imię Xian-Jin Li, który przedstawił je w 1997 r. W 1999 r. Enrico Bombieri i Jeffrey C. Lagarias przedstawili uogólnienie, pokazując, że warunek dodatni Li ma zastosowanie do dowolnego zbioru punktów leżących na Re ( s ) = 1/2 osi.

Definicja

przez ξ Funkcja Riemanna jest dana

${\ Displaystyle \ xi (s) = {\ Frac {1} {2}} s (s- 1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

gdzie ζ jest funkcją zeta Riemanna . Rozważ kolejność

${\ Displaystyle \ lambda _ {n} = {\ Frac {1} {(n-1)!}} \ lewo. {\ Frac {d ^ {n}} {ds ^ {n}}} \ lewo [s ^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}.}$

Kryterium Li jest zatem stwierdzeniem, że

hipoteza Riemanna jest równoważna stwierdzeniu, że $dla$ każdej dodatniej liczby całkowitej $\ displaystyle \ lambda _ {n}> 0$ .

Liczby (czasami definiowane z nieco inną normalizacją) nazywane są współczynnikami Keipera-Li lub $współczynnikami$ Można je również wyrazić za pomocą nietrywialnych zer funkcji zeta Riemanna:

${\ Displaystyle \ lambda _ {n} = \ suma _ {\ rho} \ lewo [1- \ lewo (1- {\ Frac {1} \rho }}\right)^{n}\right]}$

gdzie suma rozciąga się na ρ , nietrywialne zera funkcji zeta. Tę warunkowo zbieżną sumę należy rozumieć w sensie, który jest zwykle używany w teorii liczb, a mianowicie, że

${\ Displaystyle \ suma _ {\ rho} = \ lim _ {N \ do \ infty} \ suma _ {|\ operatorname {im} (\ rho) | \ równoważnik N}.}$

(Re( s ) i Im( s ) oznaczają odpowiednio rzeczywistą i urojoną część s .)

Pozytywność została $_$$_$ _

Dowód

Zauważ, że ${\ Displaystyle \ lewo | 1- {\ Frac {1} {\ rho}} \ prawo | <1 \ Strzałka w prawo | \ rho -1 | <| \ rho | \ Strzałka w prawo Re (\rho )>1/2}$ .

Następnie, zaczynając od całej funkcji ${\ Displaystyle f (s) = \ prod _ {\ rho} {\ lewo (1- {\ Frac {s} {\ rho }} \ prawo)}}$ , niech ${\ Displaystyle \ phi (z) = f \ lewo ({\ Frac {1} {1-z}} \ prawej)}$ .

${\ Displaystyle \ phi}$ znika, gdy ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1-z}} = \ rho \ Strzałka w lewo z = 1 - {\ Frac { 1}{\rho}}}$ . Stąd ${\ Displaystyle {\ Frac {\ phi '(z)} {\ phi (z)}}}$ jest holomorficzne na dysku jednostkowym ${\ displaystyle | z| <1}$ iff ${\ Displaystyle \ lewo | 1- {\ Frac {1} {\ rho}} \ prawo | \ geq 1 \ Strzałka w lewo Re (\ rho) \ równoważnik 1/2}$ .

$=0}^{\infty}c_{n}z^{n}}$${\ Displaystyle {\ Frac {\ phi '(z)} {\ phi (z)}} = \ suma _ {$ n . Od

${\ Displaystyle \ log \ phi (z) = \ suma _ {\ rho} {\ log \ lewo (1- {\ frac {1} {\ rho (1-z)}} \ prawej)} = \ suma _ {\rho }{\log \left(1-{\frac {1}{\rho}}-z\right)-\log(1-z)}}$

mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ phi '(z)} {\ phi (z)}} = \ suma _ {\rho }{{\frac {1}{1-z}}-{\frac {1}{1-{\frac {1}{\rho }}-z}}}}$

aby

${\ Displaystyle c_ {n} = \ suma _ {\ rho} {1 -\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{-n-1}}=\sum _{\rho }{1-\left(1-{\frac {1} {1-\rho}}\right)^{n+1}}}$ .

$\ displaystyle \ rho}}$ jeśli każde zero ${$ sparowane ze swoim złożonym koniugatem , to połączyć warunki, aby uzyskać ρ

${\ Displaystyle c_ {n} = \ suma _ {\ rho} {Re \ lewo (1- \ lewo (1- { \frac {1}{1-\rho }}\right)^{n+1}\right)}}$ .

 

 

 

 

()

Warunek $_$${\ Displaystyle \ lim \ sup _ {n \ do \ infty} | c_ {n} | ^ {1/n} \ równoważnik 1}$ _ . Prawa strona ( 1 ) jest oczywiście nieujemna, gdy zarówno ${\ Displaystyle n \ geq 0},$ jak i ${\ Displaystyle \ lewo | 1- {\ Frac {1} {1- \ rho}} \ prawo | \ równoważnik 1 \ strzałka w lewo w prawo \ lewo | 1- {\ Frac { 1}{\rho }}\right|\geq 1\Leftrightarrow Re(\rho )\leq 1/2}$ . odwrotnie, $według$ | ${\ Displaystyle \ lewo | 1- {\ Frac {1} {1- \ rho}} \ prawo |}$ , widzimy, że największy ${\ Displaystyle \ lewo | 1- {\ Frac {1} {1- \ rho}} \ prawej|> 1}$ termin ( ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow Re (\ rho )> 1/2}$ ) dominuje w sumie jako ${\ Displaystyle n \ do \ infty}$ , a więc czasami staje się ujemny. ${\ displaystyle c_ {n}}$ P. Freitas (2008). „kryterium typu Li dla półpłaszczyzn wolnych od zera funkcji zeta Riemanna”. arXiv : math.MG/0507368 .

Uogólnienie

Bombieri i Lagarias wykazują, że podobne kryterium zachodzi dla dowolnego zbioru liczb zespolonych, a zatem nie ogranicza się do hipotezy Riemanna. Dokładniej, niech R = { ρ } będzie dowolnym zbiorem liczb zespolonych ρ , niezawierającym ρ = 1, który spełnia

${\ Displaystyle \ suma _ {\ rho} {\ Frac {1+ \ lewo | \ operatorname {Re} (\ rho) \ prawo |} {(1+ |\ rho |) ^ {2}}} < \ infty .}$

Następnie można sformułować kilka równoważnych stwierdzeń o takim zbiorze. Jedno z takich stwierdzeń jest następujące:

Jeden ma ${\ Displaystyle \ operatorname {Re} (\ rho) \ równoważnik 1/2}$ dla każdego ρ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ suma _ {\ rho} \ operatorname {Re} \ lewo [1- \ lewo (1- {\ Frac {1} {\ rho}} \ prawo) ^ {- n} \ prawo] \geq 0}$

dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych n .

Można sformułować ciekawsze stwierdzenie, jeśli zbiór R spełnia pewne równanie funkcyjne przy zamianie s ↦ 1 − s . Mianowicie, jeśli zawsze, gdy ρ jest w $}$ ¯ displaystyle { \ overline { $}}$ podane jako:

Jeden ma Re ( ρ ) = 1/2 dla każdego ρ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ suma _ {\ rho} \ lewo [1-\ lewo (1 -{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]\geq 0}$

dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych n .

Bombieri i Lagarias pokazują również, że kryterium Li wynika z kryterium Weila dla hipotezy Riemanna.

• Arias de Reyna, Juan (2011). „Asymptotyka współczynników Keipera-Li” . Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 45 (1): 7–21. doi : 10.7169/facm/1317045228 .

•   Bombieri, Enrico ; Lagarias, Jeffrey C. (1999). „Uzupełnienia kryterium Li dla hipotezy Riemanna” . Dziennik teorii liczb . 77 (2): 274–287. doi : 10.1006/jnth.1999.2392 . MR 1702145 .

•   Johansson, Fredrik (2015). „Rygorystyczne, bardzo precyzyjne obliczenia funkcji zeta Hurwitza i jej pochodnych”. Algorytmy numeryczne . 69 (2): 253–270. ar Xiv : 1309.2877 . doi : 10.1007/s11075-014-9893-1 . S2CID 10344040 .

• Keiper, Jerry B (1992). „Rozszerzenia szeregów potęgowych funkcji 𝜉 Riemanna” . Matematyka obliczeń . 58 (198): 765–773. doi : 10.2307/2153215 .   JSTOR 2153215 .

•   Lagarias, Jeffrey C. (2004). „Współczynniki Li dla automorficznych funkcji L”. Annales de l'Institut Fourier . 57 (2007): 1689–1740. arXiv : math.MG/0404394 . Bibcode : 2004math......4394L . doi : 10.5802/aif.2311 . S2CID 16385403 .

• Li, Xian-Jin (1997). „Pozytywność ciągu liczb i hipoteza Riemanna” .   Dziennik teorii liczb . 65 (2): 325–333. doi : 10.1006/jnth.1997.2137 . MR 1462847 .