Kryterium Tisseranda

Kryterium Tisseranda służy do określenia, czy obserwowane ciało orbitujące, takie jak kometa lub asteroida , jest tym samym, co poprzednio obserwowane ciało orbitujące.

O ile wszystkie parametry orbitalne obiektu krążącego wokół Słońca podczas bliskiego spotkania z innym masywnym ciałem (np. Jowiszem) mogą ulec radykalnej zmianie, o tyle wartość funkcji tych parametrów, zwanej relacją Tisseranda (za sprawą Félixa Tisseranda ) jest w przybliżeniu zachowana , umożliwiając rozpoznanie orbity po starciu.

Definicja

Kryterium Tisseranda jest obliczane w kolistym, ograniczonym układzie trzech ciał. W okrągłym ograniczonym układzie trzech ciał zakłada się, że jedno z mas jest znacznie mniejsze niż pozostałe dwa. Zakłada się, że pozostałe dwie masy znajdują się na orbicie kołowej wokół środka masy układu. Ponadto kryterium Tisseranda opiera się również na założeniu, że a) jedna z dwóch większych mas jest znacznie mniejsza niż druga duża masa oraz b) kometa lub asteroida nie zbliżyła się do żadnej innej dużej masy.

Dwa obserwowane orbitujące ciała są prawdopodobnie takie same, jeśli spełniają lub prawie spełniają kryterium Tisseranda:

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2a_ {1} }}}+{\sqrt {a_{1}(1-e_{1}^{2})}}\cos i_{1}={\frac {1}{2a_{2}}}+{\sqrt {a_{2}(1-e_{2}^{2})}}\cos i_{2}}

gdzie a to półoś wielka , e to ekscentryczność , a i to nachylenie orbity ciała.

Innymi słowy, jeśli funkcja elementów orbity (nazywana parametrem Tisseranda ) pierwszego obserwowanego ciała (prawie) jest równa tej samej funkcji obliczonej z elementów orbity drugiego obserwowanego ciała, oba ciała mogą być takie same.

Relacja Tisseranda

Relacja określa funkcję parametrów orbity, zachowaną w przybliżeniu, gdy trzecie ciało jest daleko od drugiej (zaburzającej) masy.

\ Displaystyle {\ Frac {1} {2a}} + {\ sqrt {a (1-e ^ {2})}} \bos i\około {\rm {stała}}}

Zależność wyprowadza się ze stałej Jacobiego , wybierając odpowiedni układ jednostek i stosując pewne przybliżenia. Tradycyjnie jednostki dobiera się tak, aby μ ₁ i (stała) odległość od μ ₂ do μ ₁ były jednością, co powoduje, że średni ruch n również jest jednością w tym układzie.

Ponadto, biorąc pod uwagę bardzo dużą masę μ ₁ w porównaniu μ ₂ i μ ₃

{\ Displaystyle G (\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) \ około 1 \ około G (\ mu _ {1 }+\mu _{3})}

Warunki te są spełnione np. dla układu Słońce–Jowisz, w którym kometa lub statek kosmiczny są trzecią masą.

Stała Jacobiego, będąca funkcją współrzędnych ξ, η, ζ, (odległości r ₁ , r ₂ od dwóch mas) i prędkości pozostaje stałą ruchu przez zderzenie.

{\ Displaystyle C_ {J} = 2 \ cdot ({\ Frac {\ mu _ {1}} {r_ {1}}} + {\ Frac {\ mu _ {2}} {r_ {2}}}) +2n(\xi {\kropka {\eta}}-\eta {\kropka {\xi}})-({\kropka {\xi}}^{2}+{\kropka {\eta}}^{ 2}+{\kropka {\zeta}}^{2})}

Celem jest wyrażenie stałej za pomocą parametrów orbity.

Przyjmuje się, że daleko od masy μ ₂ badana cząstka (kometa, statek kosmiczny) znajduje się na orbicie wokół μ ₁ wynikającej z rozwiązania dwuciałowego. Po pierwsze, ostatnim wyrazem stałej jest prędkość, więc można ją wyrazić, wystarczająco daleko od zakłócającej masy μ ₂ , jako funkcję samej odległości i półosi wielkiej za pomocą równania vis-viva

{\ Displaystyle ({\ kropka {\ xi}} ^ {2} + {\ kropka {\ eta}} ^{2}+{\dot {\zeta}}^{2})=v^{2}=\mu \left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\ Prawidłowy)}

Po drugie, obserwując, że składowa momentu pędu $($ na jednostkę masy) ${\ Displaystyle \ mathbf {h} = \ mathbf {r} \ razy \ mathbf {\ kropka$ jest

{\ Displaystyle \ xi {\ kropka {\ eta}} - \ eta {\ kropka {\ xi}} = h \ cos ja}

gdzie $nachyleniem$ orbit μ ₃ i μ ₂ , a ${\ Displaystyle h = |\ mathbf {h} | = {\ sqrt {a (1-e ^ {2})}}}$ .

Podstawiając je do stałej Jacobiego C _J , ignorując wyraz z μ ₂ << 1 i zastępując r ₁ przez r (biorąc pod uwagę bardzo duży μ ₁ środek ciężkości układu μ ₁ , μ ₃ jest bardzo blisko położenia μ ₁ ) daje

\ Displaystyle {\ Frac {1} {2a}} + {\ sqrt {a (1-e ^ {2})}} \bos i\około {\rm {stała}}}

Zobacz też

^ ^ab ^Roy , John AE (31 grudnia 2004). Ruch orbitalny (wyd. 4). Prasa CRC. P. 121. ISBN 9781420056884 .
^ ^{ab Gurzadyan, Grigor A. (21}^{października} 1996). Teoria lotów międzyplanetarnych . Prasa CRC. P. 192. ISBN 9782919875153 .
^ ^a ^b Danby, John MA (1992). Podstawy mechaniki nieba (wyd. 2). Willman-Bell Inc. s. 253–254. ISBN 9780943396200 .

[Roy-1] Roy , John AE (31 grudnia 2004). Ruch orbitalny (wyd. 4). Prasa CRC. P. 121. ISBN 9781420056884 .

[Gurzadyan-2] {ab Gurzadyan, Grigor A. (21}^{października} 1996). Teoria lotów międzyplanetarnych . Prasa CRC. P. 192. ISBN 9782919875153 .

[Danby-3] Danby, John MA (1992). Podstawy mechaniki nieba (wyd. 2). Willman-Bell Inc. s. 253–254. ISBN 9780943396200 .