Krytyczne zachowanie powierzchni perkolacji

Krytyczne zachowanie powierzchni perkolacji dotyczy wpływu powierzchni na krytyczne zachowanie perkolacji.

Tło

Perkolacja to badanie połączeń w układach losowych, takich jak przewodnictwo elektryczne w losowych układach przewodów/izolatorów, przepływ płynu w ośrodkach porowatych, żelowanie w układach polimerowych itp. Przy krytycznym ułamku łączności lub porowatości może mieć miejsce łączność dalekiego zasięgu , co prowadzi do przepływu dalekiego zasięgu. Punkt, w którym ma miejsce ta łączność, nazywany jest progiem perkolacji i podjęto znaczną pracę w celu znalezienia tych krytycznych wartości dla systemów o różnych geometriach oraz matematycznego zachowania obserwowalnych obiektów w pobliżu tego punktu. Prowadzi to do badania zachowań krytycznych oraz krytyczne wykładniki perkolacji . Te wykładniki pozwalają opisać zachowanie w miarę zbliżania się do progu.

Zachowanie się sieci perkolacyjnej w pobliżu powierzchni będzie inne niż w głównej części systemu, zwanej „masą”. Na przykład, dokładnie na progu perkolacji, sieć perkolacji w systemie jest fraktalem z dużymi pustkami i rozgałęzioną strukturą. Powierzchnia przerywa tę strukturę, więc jest mniej prawdopodobne, że gromada perkolacyjna wejdzie w kontakt z powierzchnią. Jako przykład rozważmy sieciowy system perkolacji wiązań (perkolacja wzdłuż wiązań lub krawędzi sieci). Jeśli krata ma charakter sześcienny i jest prawdopodobieństwem, że wiązanie jest zajęte (przewodzące), to ${\ displaystyle p}$ wiadomo, że próg perkolacji wynosi ${\ Displaystyle p_ {c} = 0,311608...}$ . Na powierzchni sieć staje się prostą kwadratową siatką, w której próg wiązania $displaystyle p_ {c}}$ to po prostu 1/2. Dlatego, gdy większość systemu znajduje się na progu, powierzchnia znajduje się znacznie poniżej tego progu, a jedynym sposobem na uzyskanie połączeń dalekiego zasięgu wzdłuż powierzchni jest ścieżka, która biegnie od powierzchni do masy, przewodzenie przez fraktalna sieć perkolacji, a następnie ścieżka z powrotem na powierzchnię. Dzieje się tak z innym krytycznym zachowaniem niż w masie i różni się od krytycznego zachowania dwuwymiarowej powierzchni na jej progu.

$do {\ displaystyle p_ {c}}$ najpowszechniejszym modelu krytycznego zachowania powierzchni w perkolacji wszystkim wiązaniom przypisuje się to samo prawdopodobieństwo $a$ zachowanie jest badane w masie z wartością 0,311608 w tym przypadku. W innym modelu zachowania powierzchni wiązania powierzchniowe są zajęte $.$ różnym prawdopodobieństwem podczas gdy masa jest utrzymywana na normalnym poziomie $p ^ {(s)}}$ Displaystyle $wartości$ jest nowy „specjalny” punkt krytyczny który ma inny zestaw wykładników krytycznych

Powierzchniowe przemiany fazowe

i

różne przejścia fazowe powierzchni w zależności od wartości prawdopodobieństwa zajęcia masy prawdopodobieństwa zajęcia powierzchni

{\ displaystyle p_ {s}}

. BP i SP oznaczają odpowiednio „perkolację masową” i „perkolację powierzchniową”.

$p}$ perkolacji możemy zdecydować się na zajęcie miejsc lub wiązań na powierzchni z innym prawdopodobieństwem niż prawdopodobieństwo masowe $displaystyle$ . Mogą wtedy wystąpić różne przejścia $fazowe$ powierzchni w zależności od wartości prawdopodobieństwa zajęcia masy prawdopodobieństwa zajęcia powierzchni ${\ displaystyle p_ {s}}$ . Najprostszym przypadkiem jest zwykłe przejście, które występuje, gdy ${\ displaystyle p}$ jest z krytycznym prawdopodobieństwem przejścia fazowego w masie. Tutaj zarówno masa, jak i powierzchnia zaczynają przesiąkać, niezależnie od wartości ${\ displaystyle p_ {s}}$ , ponieważ zwykle będzie istnieć ścieżka łącząca granice powierzchni przez przesiąkającą masę. Następnie występuje przejście powierzchniowe, gdzie prawdopodobieństwo masy jest poniżej progu masy, ale prawdopodobieństwo powierzchni jest na poziomie progu perkolacji dla perkolacji w jednym niższym wymiarze (tj. wymiarze powierzchni). Tutaj powierzchnia przechodzi perkolację, podczas gdy masa pozostaje odłączona. Jeśli wejdziemy w ten obszar diagramu fazowego, w którym powierzchnia jest uporządkowana, podczas gdy masa jest nieuporządkowana, a następnie zwiększymy prawdopodobieństwo masy, ostatecznie napotkamy niezwykłe przejście, w którym masa przechodzi przemianę perkolacji z powierzchnią już perkolującą. Wreszcie istnieje specjalne przejście fazowe, które jest odosobnionym punktem, w którym spotykają się granice faz dla przejść zwykłych, specjalnych i nadzwyczajnych.

Ogólnie rzecz biorąc, różne przejścia powierzchniowe będą w różnych klasach uniwersalności powierzchni, z różnymi wykładnikami krytycznymi. Biorąc pod uwagę wykładnik, powiedzmy , oznaczamy odpowiedni wykładnik na przejściach zwykłych, powierzchniowych, nadzwyczajnych i specjalnych przez $}}$ ${ (o$ ) ${\ Displaystyle \ gamma ^ {(s)}}$ , ${\ Displaystyle \ gamma ^ {(e)}}$ i ${\ Displaystyle \ gamma ^ {(sp)}}$ odpowiednio.

progi perkolacji powierzchniowej

Krata	z	Próg przenikania witryny	Próg perkolacji obligacji
ogólny trójkąt	3

Wykładniki krytyczne powierzchni

Prawdopodobieństwo, że miejsca na powierzchni połączone z nieskończoną (przesiąkającą) gromadą, dla nieskończonego systemu i , $do {\ displaystyle p> p_ {c}}$ określone przez