Krytyczny wykres

W lewym górnym rogu graf krytyczny wierzchołków z chromatycznym numerem 6; następnie wszystkie podgrafy N-1 o liczbie chromatycznej 5.

W teorii grafów graf krytyczny to graf nieskierowany , którego wszystkie podgrafy mają mniejszą liczbę chromatyczną . W takim grafie każdy wierzchołek lub krawędź jest elementem krytycznym w tym sensie, że jego usunięcie zmniejszyłoby liczbę kolorów potrzebnych do pokolorowania danego grafu. Zmniejszenie liczby kolorów nie może być większe niż o jeden.

Wariacje

K ${\ displaystyle k}$ -krytyczny wykres to krytyczny wykres z liczbą chromatyczną $\ displaystyle k}$ . Wykres $liczbą$ chromatyczną jest krytyczny dla wierzchołków $jeśli każdy$ $jest$ elementem krytycznym Grafy krytyczne to minimalne elementy pod względem liczby chromatycznej, która jest bardzo ważną miarą w teorii grafów.

Niektóre właściwości $-krytycznego$ wykresu z $k$ i : $k {$ $}$

${\ displaystyle G}$ ma tylko jeden składnik .
$skończony$ (jest to twierdzenie de Bruijna – Erdősa ).
Minimalny stopień ${\ Displaystyle \ delta (G) \ geq$ zgodny z nierównością $-$ . $sąsiaduje$ z co najmniej . Silniej jest $(k-1)}$ $Displaystyle$ połączone krawędziami .
Jeśli jest regularnym wykresem $ze$ stopniem $,$ $}$ , że każdy wierzchołek sąsiaduje dokładnie z innymi, to $displaystyle k-$ $jest$ albo pełnym wykresem $z$ wierzchołkami albo wykresem cyklu To jest twierdzenie Brooksa .
${\ Displaystyle 2m \ geq (k-1) n + k-3}$ .
${\ Displaystyle 2m \ geq (k-1) n + \ lfloor (k-3) / (k ^ {2) }-3)\rpodłoga n}$ .
Albo można $k$ $2k-1$ $która$ jeden wierzchołek z każdego z dwóch podgrafów, albo ma co najmniej wierzchołków. Silniej, albo $z$ $displaystyle v}$ tego typu, albo dla każdego wierzchołka $jest$ $G}$ $,$ której sol $displaystyle$ \ jest jedynym wierzchołkiem tego koloru, a każda inna klasa kolorów ma co najmniej dwa wierzchołki.

Wykres $właściwa$ krytyczny dla wierzchołków wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka $istnieje$ $optymalna$ w której jest pojedynczą klasą kolorów.

Jak pokazał Hajós (1961) $wykres$ każdy -krytyczny można utworzyć z pełnego wykresu $z operacją,$ łącząc konstrukcję Hajósa identyfikuje dwa niesąsiadujące wierzchołki. Wykresy utworzone w ten sposób zawsze wymagają $.$ w każdym odpowiednim zabarwieniu

Graf podwójnie krytyczny to graf spójny, w którym usunięcie dowolnej pary sąsiednich wierzchołków zmniejsza liczbę chromatyczną o dwa. Otwartym problemem jest ustalenie, czy $jest$ $podwójnie$ krytycznym .

Zobacz też

Wykres czynnika krytycznego

Dalsza lektura

Jensen, TR; Toft, B. (1995), Problemy z kolorowaniem wykresów , Nowy Jork: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-02865-7
Stiebitz, Michael; Tuza, Zsolt; Voigt, Margit (6 sierpnia 2009), „Na wykresach krytycznych listy”, Discrete Mathematics , Elsevier, 309 (15): 4931–4941, doi : 10.1016/j.disc.2008.05.021