Krzywa Mordella

000 y 2 = x 3 + 1 , z rozwiązaniami w ( -1 , ), ( , 1 ) i ( , -1 )

W algebrze krzywa Mordella jest krzywą eliptyczną postaci y 2 = x 3 + n , gdzie n jest ustaloną niezerową liczbą całkowitą .

Krzywe te zostały dokładnie zbadane przez Louisa Mordella z punktu widzenia określenia ich punktów całkowitych. Pokazał, że każda krzywa Mordella zawiera tylko skończenie wiele punktów całkowitych ( x , y ). Innymi słowy, różnice między doskonałymi kwadratami i doskonałymi sześcianami dążą do nieskończoności. Kwestię szybkości rozwiązywano w zasadzie metodą Bakera . Hipotetycznie problem ten rozwiązuje hipoteza Marshalla Halla .

Nieruchomości

Jeśli ( x , y ) jest punktem całkowitym na krzywej Mordella, to tak samo jest ( x , -y ).

Istnieją pewne wartości n , dla których odpowiednia krzywa Mordella nie ma rozwiązań całkowitych; te wartości to:

6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... (sekwencja A054504 w OEIS ) .
-3, -5, -6, -9, -10, -12, -14, -16, -17, -21, -22, ... (sekwencja A081121 w OEIS ).

Specyficzny przypadek, w którym n = −2 jest również znany jako twierdzenie Fermata o kanapce .

Lista rozwiązań

Poniżej znajduje się lista rozwiązań krzywej Mordella y 2 = x 3 + n dla | n | ≤ 25. Pokazane są tylko rozwiązania z y ≥ 0.

N ( x , y )
1 (−1, 0), (0, 1), (2, 3)
2 (−1, 1)
3 (1, 2)
4 (0, 2)
5 (−1, 2)
6
7
8 (−2, 0), (1, 3), (2, 4), (46, 312)
9 (−2, 1), (0, 3), (3, 6), (6, 15), (40, 253)
10 (−1, 3)
11
12 (−2, 2), (13, 47)
13
14
15 (1, 4), (109, 1138)
16 (0, 4)
17 (-1, 4), (-2, 3), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234, 378661)
18 (7, 19)
19 (5, 12)
20
21
22 (3, 7)
23
24 (-2, 4), (1, 5), (10, 32), (8158, 736844)
25 (0, 5)
N ( x , y )
−1 (1, 0)
−2 (3, 5)
−3
−4 (5, 11), (2, 2)
−5
−6
−7 (2, 1), (32, 181)
−8 (2, 0)
−9
−10
−11 (3, 4), (15, 58)
−12
−13 (17, 70)
−14
−15 (4, 7)
−16
−17
−18 (3, 3)
−19 (7, 18)
−20 (6, 14)
−21
−22
−23 (3, 2)
−24
−25 (5, 10)

W 1998 roku J. Gebel, A. Pethö, HG Zimmer znaleźli wszystkie punkty całkowite dla 0 < | n | ≤ 10 4 .

W 2015 roku MA Bennett i A. Ghadermarzi obliczyli punkty całkowite dla 0 < | n | ≤ 10 7 .

Linki zewnętrzne