Krzywa Mordella
W algebrze krzywa Mordella jest krzywą eliptyczną postaci y 2 = x 3 + n , gdzie n jest ustaloną niezerową liczbą całkowitą .
Krzywe te zostały dokładnie zbadane przez Louisa Mordella z punktu widzenia określenia ich punktów całkowitych. Pokazał, że każda krzywa Mordella zawiera tylko skończenie wiele punktów całkowitych ( x , y ). Innymi słowy, różnice między doskonałymi kwadratami i doskonałymi sześcianami dążą do nieskończoności. Kwestię szybkości rozwiązywano w zasadzie metodą Bakera . Hipotetycznie problem ten rozwiązuje hipoteza Marshalla Halla .
Nieruchomości
Jeśli ( x , y ) jest punktem całkowitym na krzywej Mordella, to tak samo jest ( x , -y ).
Istnieją pewne wartości n , dla których odpowiednia krzywa Mordella nie ma rozwiązań całkowitych; te wartości to:
- 6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... (sekwencja A054504 w OEIS ) .
- -3, -5, -6, -9, -10, -12, -14, -16, -17, -21, -22, ... (sekwencja A081121 w OEIS ).
Specyficzny przypadek, w którym n = −2 jest również znany jako twierdzenie Fermata o kanapce .
Lista rozwiązań
Poniżej znajduje się lista rozwiązań krzywej Mordella y 2 = x 3 + n dla | n | ≤ 25. Pokazane są tylko rozwiązania z y ≥ 0.
N | ( x , y ) |
---|---|
1 | (−1, 0), (0, 1), (2, 3) |
2 | (−1, 1) |
3 | (1, 2) |
4 | (0, 2) |
5 | (−1, 2) |
6 | – |
7 | – |
8 | (−2, 0), (1, 3), (2, 4), (46, 312) |
9 | (−2, 1), (0, 3), (3, 6), (6, 15), (40, 253) |
10 | (−1, 3) |
11 | – |
12 | (−2, 2), (13, 47) |
13 | – |
14 | – |
15 | (1, 4), (109, 1138) |
16 | (0, 4) |
17 | (-1, 4), (-2, 3), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234, 378661) |
18 | (7, 19) |
19 | (5, 12) |
20 | – |
21 | – |
22 | (3, 7) |
23 | – |
24 | (-2, 4), (1, 5), (10, 32), (8158, 736844) |
25 | (0, 5) |
N | ( x , y ) |
---|---|
−1 | (1, 0) |
−2 | (3, 5) |
−3 | – |
−4 | (5, 11), (2, 2) |
−5 | – |
−6 | – |
−7 | (2, 1), (32, 181) |
−8 | (2, 0) |
−9 | – |
−10 | – |
−11 | (3, 4), (15, 58) |
−12 | – |
−13 | (17, 70) |
−14 | – |
−15 | (4, 7) |
−16 | – |
−17 | – |
−18 | (3, 3) |
−19 | (7, 18) |
−20 | (6, 14) |
−21 | – |
−22 | – |
−23 | (3, 2) |
−24 | – |
−25 | (5, 10) |
W 1998 roku J. Gebel, A. Pethö, HG Zimmer znaleźli wszystkie punkty całkowite dla 0 < | n | ≤ 10 4 .
W 2015 roku MA Bennett i A. Ghadermarzi obliczyli punkty całkowite dla 0 < | n | ≤ 10 7 .