Krzywa Tate'a

W matematyce $jest$ Tate krzywą zdefiniowaną na formalnego szeregu współczynnikami W otwartym podschemacie, w którym q jest odwracalne, krzywa Tate jest krzywą eliptyczną . Krzywą Tate można również zdefiniować dla q jako elementu pełnego pola normy mniejszej niż 1, w którym to przypadku formalne szeregi potęgowe są zbieżne.

Krzywa Tate została wprowadzona przez Johna Tate'a ( 1995 ) w rękopisie z 1959 roku, pierwotnie zatytułowanym „Rational Points on Elliptic Curves Over Complete Fields”; swoje wyniki opublikował dopiero wiele lat później, a jego praca po raz pierwszy ukazała się w Roquette (1970) .

Definicja

Krzywa Tate jest rzutową krzywą płaszczyzny na pierścieniu Z [[ q ]] formalnych szeregów potęgowych ze współczynnikami całkowitymi podanymi (w afinicznym otwartym podzbiorze płaszczyzny rzutowej) równaniem

${\ Displaystyle y ^ {2} + xy = x ^ {3} + a_ {4} x + a_ {6}}$

Gdzie

${\ Displaystyle -a_ {4} = 5 \ suma _ {n} {\ Frac {n ^ {3}q^{n}}{1-q^{n}}}=5q+45q^{2}+140q^{3}+\cdots }$

${\ Displaystyle -a_ {6} = \ suma _ {n} {\ Frac {7n ^ {5} + 5n ^ {3}} {12} }\times {\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q+23q^{2}+154q^{3}+\cdots }$

są szeregami potęgowymi o współczynnikach całkowitych.

Krzywa Tate na całym polu

Załóżmy, że pole k jest zupełne względem pewnej wartości bezwzględnej | |, a q jest niezerowym elementem pola k z | q |<1. Następnie serie przede wszystkim zbiegają się i definiują krzywą eliptyczną nad k . Jeśli dodatkowo q jest niezerowe, to istnieje izomorfizm grup od k ^* / q ^Z do tej krzywej eliptycznej, przyjmując w do ( x ( w ), y ( w )) dla w nie jest potęgą q , gdzie

${\ Displaystyle x (w) = - y (w) -y (w ^ {- 1})}$

${\ Displaystyle y (w) = \ suma _ {m \ w \ mathbf {Z}} {\ Frac {(q ^ {m} w) ^ {2}} {(1-q ^ {m) }w)^{3}}}+\sum _{m\geq 1}{\frac {q^{m}}{(1-q^{m})^{2}}}}$

i przenosząc potęgi q do punktu w nieskończoności krzywej eliptycznej. Szeregi x ( w ) i y ( w ) nie są formalnymi szeregami potęgowymi w w .

Intuicyjny przykład

W przypadku krzywej na całym polu $\mathbb {C} ^{*}/q ​​^ {\ mathbb {Z}}}$ przypadkiem do wizualizacji jest $k$$}}}$ , gdzie ${\ Displaystyle q ^ {\ mathbb {Z}}}$ jest dyskretną podgrupą generowaną przez jeden multiplikatywny okres ${\ Displaystyle e ^ {2 \ pi ja \ tau}}$ , gdzie okres ${\ Displaystyle \ tau = \ omega _ {1} / \ omega _ {2}}$ . Zauważ, że $\ Displaystyle {\ mathbb {C} +}/\ mathbb {Z}$ izomorficzny z do $\ mathbb {C} ^ {*}} ,$$} displaystyle \mathbb {C} +}$ gdzie do to dodawane liczby zespolone.

Aby zobaczyć, dlaczego krzywa Tate moralnie odpowiada torusowi, gdy pole wynosi C ze zwykłą normą, $jest$ pojedynczo okresowe; modyfikując przez całkowe $potęgi$$,$ modyfikujesz przez , który jest Innymi słowy, mamy pierścień i przyklejamy wewnętrzne i zewnętrzne krawędzie.

Ale pierścień nie odpowiada okręgowi minus punkt: pierścień to zbiór liczb zespolonych między dwiema kolejnymi potęgami q; powiedzmy wszystkie liczby zespolone o wielkości od 1 do q. To daje nam dwa okręgi, tj. wewnętrzną i zewnętrzną krawędź pierścienia.

Przedstawiony tutaj obraz torusa to grupa inkrustowanych okręgów, które stają się coraz węższe w miarę zbliżania się do początku układu współrzędnych.

${Z}}$ zwykłej metody rozpoczynającej się od płaskiej kartki papieru i sklejania ze sobą boków w celu utworzenia cylindra do ${$$\ displaystyle \ mathbb {C}$ , a następnie sklejenie krawędzi cylindra w celu utworzenia torusa, ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {Z} ^ {2}}$ .

Jest to nieco uproszczone. Krzywa Tate'a jest w rzeczywistości krzywą na pierścieniu formalnego szeregu potęgowego, a nie krzywą na C. Intuicyjnie jest to rodzina krzywych zależnych od parametru formalnego. Kiedy ten parametr formalny wynosi zero, degeneruje się do ściśniętego torusa, a gdy jest niezerowy, jest torusem).

Nieruchomości

Niezmiennik j krzywej Tate jest dany przez szereg potęgowy w q z wyrazem wiodącym q ⁻¹ . Dlatego w p -adicznym polu lokalnym j jest niecałkowite, a krzywa Tate'a ma półstabilną redukcję typu multiplikatywnego. I odwrotnie, każda półstabilna krzywa eliptyczna w polu lokalnym jest izomorficzna z krzywą Tate (aż do skrętu kwadratowego ).

•     Lang, Serge (1987), Funkcje eliptyczne , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 112 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-4752-4 , ISBN 978-0-387-96508-6 , MR 0890960 , Zbl 0615.14018
•     Manin, Yu. ja ; Panczyszkin, AA (2007). Wprowadzenie do współczesnej teorii liczb . Encyklopedia nauk matematycznych . Tom. 49 (wyd. Drugie). ISBN 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .
•     Robert, Alain (1973), Krzywe eliptyczne , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 326, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-46916-2 , ISBN 978-3-540-06309-4 , MR 0352107 , Zbl 0256.14013
•     Roquette, Peter (1970), Analityczna teoria funkcji eliptycznych na polach lokalnych , Hamburger Mathematische Einzelschriften (NF), Heft 1, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 9783525403013 , MR 0260753 , Zbl 0194.52002
•    Silverman, Joseph H. (1994). Zaawansowane tematy z arytmetyki krzywych eliptycznych . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 151. Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5 . Zbl 0911.14015 .
•     Tate, John (1995) [1959], „Przegląd niearchimedesowych funkcji eliptycznych” , w: Coates, John; Yau, Shing-Tung (red.), Krzywe eliptyczne, formy modułowe i ostatnie twierdzenie Fermata (Hongkong, 1993) , Series in Number Theory, tom. ja, int. Press, Cambridge, MA, s. 162–184, CiteSeerX 10.1.1.367.7205 , ISBN 978-1-57146-026-4 , MR 1363501