Kupa cienia

W informatyce kopia cienia jest strukturą danych sterty, którą można scalać , która obsługuje wydajne łączenie sterty w sensie amortyzowanym . Dokładniej, stosy cieni wykorzystują algorytm scalania cienia, aby uzyskać wstawienie w zamortyzowanym czasie O (f( n )) i usunięcie w zamortyzowanym czasie O ((log n log log n )/f( n )) dla dowolnego wyboru 1 ≤ fa ( n ) ≤ log log n .

W całym artykule zakłada się, że A i B są stosami binarnymi z | | _ ≤ | B. |.

Łączenie cieni

Shadow merge to algorytm efektywnego łączenia dwóch stert binarnych , jeśli te sterty są zaimplementowane jako tablice . szczególności czas działania scalania cieni na dwóch stosach i ${$$\ Displaystyle B}$ wynosi ${\ Displaystyle O (| A | + \ min \ {\ log | B|\ log \ log | B |, \ log | A |\ log | B|\})}$ .

Algorytm

Chcemy scalić dwa binarne kopce min i ${\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ . Algorytm jest następujący:

1. $Połącz$ tablicę $uzyskać$ końcu $tablicy$ aby tablicę
2. Zidentyfikuj cień w $A}$ { $displaystyle$ ; czyli przodkowie ostatniego $,$ węzły w węzłach które niszczą właściwość sterty do ${\ displaystyle C}$
3. Zidentyfikuj następujące dwie części cienia z: do $\ displaystyle C}$ :
   • Ścieżka : zbiór węzłów w cieniu, dla których są co $2$ na $dowolnej$ ;
   • Poddrzewo $cienia$ pozostała część .
4. Wyodrębnij i posortuj najmniejszy ${\ displaystyle | P|}$ węzły z cienia do tablicy ${\ displaystyle S}$ .
5. Przekształć w następujący sposób: ${\ displaystyle S}$
   • Jeśli $,$$}$ następnie zaczynając od najmniejszego elementu w posortowanej tablicy, kolejno wstawiaj każdy element z ${\ displaystyle S}$ do , zastępując je do do ${\ displaystyle$ najmniejsze elementy.
   • Jeśli ${\ Displaystyle | S | \ leq | C |}$ , a następnie wyodrębnij i posortuj ${\ displaystyle | P|}$ najmniejsze elementy z ${$ połącz tę posortowaną listę z . do $\ displaystyle S$ .
6. Zamień elementy na $pozycje$$w$ .
7. Zrób kupę z ${\ displaystyle T}$ .

Czas działania

Ponownie, $.$$ścieżkę$ i $oznacza$ poddrzewo połączonej Liczba węzłów w $większa$$)}$ niż głębokość , czyli $) {\ displaystyle O (\ log | B$ . Ponadto liczba węzłów na głębokości ${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle d}$ to co najwyżej 3/4 liczby węzłów na głębokości $Displaystyle$ ma rozmiar $O (| A |)}$ . $Ponieważ na każdym$ są co najwyżej 2 węzły , to odczytanie najmniejszego ${\ Displaystyle | P |}$ elementy cienia do posortowanej tablicy ${\ Displaystyle S}$ zajmuje ${\ Displaystyle O (\ log | B |)}$ czas.

Jeśli ${\ Displaystyle | S |>| C |}$ , a następnie połączenie i do ${\ Displaystyle$$}$ , jak w kroku 5 powyżej, wymaga czasu $\ Displaystyle O(\log |A|\log |B|)}$ . W przeciwnym razie czas potrzebny na wykonanie tego kroku wynosi ${\ Displaystyle O (| A | + \ log | B | \ log \ log | B |)}$ . $Wreszcie$$_$ sterty zajmuje _ Odpowiada to całkowitemu czasowi działania scalania cieni ${\ Displaystyle O (| A | + \ min \ {\ log | A | \ log | B |, \ log | B | \ log \ log | B|\})}$ .

Struktura

Kupa cienia składa się z funkcji progowej i tablicy , $tablicy jest utrzymywana w$ której zwykła właściwość sterty binarnej zaimplementowana w $H {\ displaystyle H$ właściwość sterty niekoniecznie jest zachowana w innych wpisach. ${\ displaystyle A$ sterta cieni jest zasadniczo stertą binarną sąsiadującą z tablicą $}$ . Aby dodać element do sterty cienia, umieść go w tablicy ${\ Displaystyle A}$ . Jeśli tablica $staje$$.$ zbyt duża zgodnie z określonym progiem, najpierw budujemy stertę z użyciem algorytmu Floyda do budowy sterty, a następnie łączymy tę stertę z scalania cieni Wreszcie, łączenie kopców cieni odbywa się po prostu poprzez sekwencyjne wstawianie jednej sterty do drugiej przy użyciu powyższej procedury wstawiania.

Analiza

Otrzymujemy $_$${\ Displaystyle \ log | H | \ równoważnik f (H) \ równoważnik \ log | H | \ log \ log | H |}$ _ jak wyżej. Załóżmy, że funkcja progowa jest taka, że ​​każda zmiana ${\ Displaystyle | B|}$ wywołuje nie większą zmianę niż w ${\ Displaystyle f (H)}$ . Wyprowadzamy żądane granice czasu na stercie łączenia, używając metody analizy potencjału dla analizy amortyzowanej . Potencjał sterty wybiera się jako: ${\ Displaystyle \ Psi (H)}$

${\ Displaystyle \ Psi (H) = | A | (1+ \min\{\log |B|\log \log |B|,\log |B|\log |A|\}/f(H))}$

Wykorzystując ten potencjał możemy uzyskać pożądane czasy pracy zamortyzowanej:

utwórz ( H. ) : inicjuje nową pustą stertę cieni ${\ Displaystyle H}$

$,$ potencjał $niezmieniony$ więc zamortyzowany koszt stworzenia rzeczywisty

wstaw ( x , H. ) : wstawia ${\ displaystyle x}$ do sterty cieni ${\ displaystyle H}$

Istnieją dwa przypadki:

• $}$ stosuje się scalanie, to spadek funkcji potencjalnej jest dokładnie rzeczywistym kosztem łączenia i koszt zamortyzowany wynosi $\ Displaystyle B}$ i $}$${\ Displaystyle A$ .
• Jeśli scalanie nie zostanie wykonane, wówczas zamortyzowany koszt wynosi ${\ styl wyświetlania O(1+\min\{\log |B|\log \log |B|,\log |B|\log |A|\}/f(H))}$

Wybierając funkcję progową, otrzymujemy zatem, że zamortyzowany koszt wstawienia wynosi:

${\ Displaystyle O (\ log | H | \ log \log |H|/f(H))}$

delete_min ( H. ) : usuwa element o minimalnym priorytecie z ${\ displaystyle H}$

Znalezienie i usunięcie minimum zajmuje rzeczywisty czas ${\ Displaystyle O (| A | + \ log | B |)}$ . $,$ gdy wartość maleje. Wybierając , $mamy$ , że zamortyzowany koszt tej operacji jest taki sam jak koszt rzeczywisty

Powiązane algorytmy i struktury danych

$sterty$ połączy dwa stosy i $Displaystyle$$B}$ czasie łącząc oba stosy stertę z wynikowej tablicy za pomocą algorytmu Floyda do budowy sterty. Alternatywnie, stosy można po prostu scalić, kolejno wstawiając każdy element do $,$${\ displaystyle B}$ zajmuje trochę czasu. ${\ Displaystyle O (| A | \ log | B |)}$ .

Sack i Strothotte zaproponowali algorytm łączenia stosów binarnych w ${\ Displaystyle O (| A | + \ log | A | \ log | B |)}$ czas. Wiadomo, że ich algorytm jest bardziej wydajny niż drugie naiwne rozwiązanie opisane powyżej z grubsza, gdy ${\ Displaystyle | A |> \ log | B |}$ . Shadow merge działa asymptotycznie lepiej niż ich algorytm, nawet w najgorszym przypadku.

Istnieje kilka innych stosów, które obsługują szybsze czasy scalania. $Na$ przykład Fibonacciego scalić w $.$ stosy binarne wymagają na scalenie, scalanie